Tesserakt

Das 8-Zell oder der Tesserakt [] ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Beim 8-Zell sind dies 8 Würfel. Das 8-Zell besteht außerdem aus 24 Flächen (Quadraten), 32 Kanten und 16 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 8-Zells ist . Es sagt aus, dass das 8-Zell aus Würfeln aufgebaut ist, von denen jeweils 3 an einer Kante aneinander grenzen. Die Eckfigur ist ein regelmäßiges Tetraeder , was bedeutet, dass an einer Ecke 4 Würfel aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Würfel aneinander. Das duale Polytop des 8-Zells ist das 16-Zell.

Geschichte Das 8-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt. In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.

Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt, unter anderem von Washington Irving Stringham, G. Forchhammer, Reinhold Hoppe, Karl Rudel, Victor Schlegel, Anton Puchta, Otto Biermann, H. W. Curjel und Thorold Gosset. Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.

In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme. Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt. Ludwig Schläfli bezeichnete das 8-Zell als Oktaschem, während Washington Irving Stringham es Oktahedroid oder (8)-hedroid nannte. Die heute übliche Bezeichnung Achtzell wurde von Victor Schlegel eingeführt. Die Bezeichnung Tesserakt wurde erstmals von Charles Howard Hinton verwendet. Weitere Bezeichnungen sind vierdimensionales Maßpolytop und vierdimensionaler Hyperwürfel.

Konstruktionen des 8-Zells

Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht. Hierbei bezeichnet die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen des Polyeders.

Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet , wobei die Anzahl der Zellen bezeichnet. Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen. Für das 8-Zell sind diese gegeben durch . Um die Existenz des 8-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.

Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 8-Zells beschrieben.

Konstruktion über Analogie zum Würfel

mini|thumbtime=20|Konstruktion des 8-Zells Eine Strecke kann dadurch konstruiert werden, dass ein Punkt entlang einer Geraden um einen Abstand verschoben wird. Ein Quadrat kann konstruiert werden, indem die Strecke in der zweiten Dimension senkrecht zur Strecke um den Abstand verschoben wird. Ein Würfel kann konstruiert werden, indem das Quadrat in der dritten Dimension senkrecht zur Ebene, in der das Quadrat liegt, um den Abstand verschoben wird. Analog dazu kann das 8-Zell konstruiert werden, indem der Würfel in der vierten Dimension senkrecht zum Raum, in dem der Würfel liegt, um den Abstand verschoben wird.

Diese Konstruktion ist im Video in diesem Abschnitt dargestellt. Zunächst werden eine eindimensionale Strecke und aus ihr ein zweidimensionales Quadrat konstruiert. Die Strecke und das Quadrat werden orthogonal in die Bildebene projiziert. Das Quadrat wird anschließend im dreidimensionalen Raum gedreht, um die Konstruktion des Würfels darstellen zu können. Es wird hierzu eine Orthogonalprojektion aus dem dreidimensionalen Raum verwendet. Durch die Drehung erscheint das Quadrat daher als Parallelogramm. Hierauf wird der dreidimensionale Würfel erzeugt. Er wird anschließend im vierdimensionalen Raum gedreht, um die Konstruktion des 8-Zells darstellen zu können. In Analogie zur Rotation des Quadrats wird der rotierte Würfel durch die Orthogonalprojektion aus dem vierdimensionalen Raum als Parallelepiped dargestellt. Hierauf wird das 8-Zell aus dem Würfel konstruiert.

Die Konstruktion zeigt, dass das 8-Zell aus 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadraten und 8 Würfeln besteht.

Konstruktion über kartesische Koordinaten

Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 8-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Hyperebenen, in denen die Zellen liegen. Die Ecken des 8-Zells sind gegeben durch: (16 Punkte). Die Koordinaten wurden so normiert, dass die Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Würfel haben damit eine Länge von .

Die Zellen (Würfel) des 8-Zells sind dadurch gegeben, dass das Vorzeichen einer seiner Koordinaten fixiert wird. Beispielsweise ist der Würfel in der Hyperebene durch die acht Ecken gegeben. Die Ebenen, in denen die acht Würfel liegen, sind gegeben durch , , und .

Auch diese Konstruktion zeigt, dass das 8-Zell aus 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadraten und 8 Würfeln besteht.

Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 8-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Würfelmittelpunkten zwei Schichten bilden, die jeweils 8 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen drei Schichten von 1, 6, und 1 Würfeln bilden.

Visualisierung der Konstruktion des 8-Zells

thumbtime=11|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung: ein Schlegeldiagramm des 8-Zells mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 8-Zells aus den oben beschriebenen drei Schichten von Würfeln. Dabei werden die Würfel vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt . Die Projektion erfolgt in die -Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.

Im ersten Teil des Videos werden die Würfel der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 8-Zells darzustellen. Die drei Schichten werden nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherige Schicht angrenzt, werden die Würfel nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Würfel rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 8-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.

Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Würfel. Da dieser in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die sieben zuvor eingeblendeten Würfel, wird er größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieser Würfel disjunkt zu allen übrigen.

Im Anschluss werden die Würfel undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Würfel und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Würfel deren Anzahl dargestellt.

Das Video visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 8-Zells. Diese geht von einem 8-Zell mit einem daraus entfernten Würfel aus, so dass die restlichen sieben Würfel über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Schlegel konstruiert die Zentralprojektion des 8-Zells explizit in der Abbildung 25 seiner Arbeit. Diese Abbildung entspricht im Video dem Zeitpunkt, an dem sieben Würfel eingeblendet wurden.

Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 8-Zells nach Einblendung aller drei Schichten. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 8-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Die dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Zentralprojektion des 8-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung. Die Abbildung am Anfang dieses Artikels, das dreidimensionale Modell und das Zometool-Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 8-Zells dar.

Koordinatenstellungen des 8-Zells

mini|Orthogonalprojektion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell der Orthogonalprojektion des 8-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet. Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle. Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt. Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine zellenzentrierte Zentralprojektion des 8-Zells.

Die im Abschnitt Konstruktion über kartesische Koordinaten angegebenen Koordinaten des 8-Zells sind zellenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine flächenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:

Eine kantenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehspiegelungsmatrix

Eine eckenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehspiegelungsmatrix

Damit ergeben sich die eckenzentrierten Koordinaten des 8-Zells als: alle Permutationen von (8 Punkte) und mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen (8 Punkte).