Mit Logik (von ‚Kunst des Denkens‘, ‚Kunst des Argumentierens‘) wird im Allgemeinen das vernünftige Schlussfolgern und im Besonderen dessen Lehre – die Schlussfolgerungslehre oder auch Denklehre – bezeichnet. In der Logik wird die Struktur von Argumenten im Hinblick auf ihre Gültigkeit untersucht, unabhängig vom Inhalt der Aussagen. Bereits in diesem Sinne spricht man auch von „formaler“ Logik. Traditionell ist die Logik ein Teil der Philosophie. Ursprünglich hat sich die traditionelle Logik in Nachbarschaft zur Rhetorik entwickelt. Seit dem 20. Jahrhundert versteht man unter Logik überwiegend symbolische Logik, die auch als grundlegende Strukturwissenschaft, z. B. innerhalb der Mathematik und der theoretischen Informatik, behandelt wird. miniatur|300px| Die beiden Hunde veritas und falsitas jagen den Hasen problema, die Logik eilt mit dem Schwert syllogismus bewaffnet hinterher. Links unten Parmenides, mit dem die logische Argumentation Einzug in die Philosophie hielt, in einer Höhle.Gregor Reisch: „Die Logik präsentiert ihre zentralen Themen“. In: Margarita Philosophica. 1503/08 (?).
Die moderne symbolische Logik verwendet statt der natürlichen Sprache eine künstliche Sprache (ein Satz wie: „Der Apfel ist rot“ wird z. B. in der Prädikatenlogik als formalisiert, wobei für: Der Apfel und für: ist rot steht) und verwendet streng definierte Schlussregeln. Ein einfaches Beispiel für so ein formales System ist die Aussagenlogik (dabei werden sogenannte atomare Aussagen durch Buchstaben ersetzt). Die symbolische Logik nennt man auch mathematische Logik oder formale Logik im engeren Sinn.
Unterschiedliche Bedeutungen des Wortes „Logik“ Der Ausdruck „Logik“, im Griechischen logikè téchnē steht sowohl in der älteren Stoa wie im älteren Peripatos für eine Lehre vom Argumentieren bzw. Schließen, ist in dieser Bedeutung jedoch nicht vor dem 1. Jahrhundert v. Chr. belegt.Kuno Lorenz: Logik, II. Die antike Logik. In: Historisches Wörterbuch der Philosophie. Band 5, 362 nach E. Kapp: Der Ursprung der Logik bei den Griechen. 1965, 25 und mit Verweis auf Cicero: De finibus 1, 7, 22. Der Begriff wurde bereits von dem antiken Stoiker Zenon von Kition geprägt.
Im Deutschen wird das Wort „Logik“ im 19. Jahrhundert vielfach (etwa bei Immanuel Kant oder Georg Wilhelm Friedrich Hegel) auch im Sinne einer Erkenntnistheorie, Ontologie oder einer allgemeinen Dialektik verwendet. Die Logik im modernen Sinne wurde auf der anderen Seite häufig anders bezeichnet, etwa als Analytik, Dialektik oder Logistik. Auch heute noch sind z. B. in der Soziologie Formulierungen wie Logik des HandelnsHartmut Esser: Soziologie. Spezielle Grundlagen. Band 1: Situationslogik und Handeln. Campus Verlag, 1999, S. 201. oder der Literaturwissenschaft wie Logik der DichtungKäte Hamburger: Die Logik der Dichtung. 3. Auflage. Klett-Cotta, 1977, ISBN 3-12-910910-2. u. Ä. verbreitet, bei denen unter „Logik“ keine Theorie des Folgerns verstanden wird, sondern eine Lehre allgemeiner „Gesetze“ oder Verfahrensweisen, die in einem bestimmten Bereich gelten. Insbesondere in der Tradition der Philosophie der normalen Sprache wurde unter einer „logischen“ Analyse vielfach eine Analyse begrifflicher Zusammenhänge verstanden. Unter dem Titel: „Logik der Forschung“ (Karl Popper, 1935) sind alle oben genannten Verwendungsweisen des Wortes impliziert: die angemessenen methodischen Verfahrensweisen einer jeglichen Wissenschaft, welche wahrhaftige Erkenntnisse zur Folge haben sollen.
Die einleitend dargestellte Verwendungsweise des Ausdrucks „Logik“ ist seit Beginn des 20. Jahrhunderts üblich.
In der Umgangssprache werden Ausdrücke wie „Logik“ oder „logisches Denken“ darüber hinaus in einem sehr viel weiteren oder völlig anderen Sinne verstanden und etwa einem „lateralen Denken“ gegenübergestellt. Ebenso gibt es den Begriff der „Frauenlogik“, „Männerlogik“, der „Affektlogik“ und den Begriff der „Alltagslogik“ – bekannt auch als „gesunder Menschenverstand“ (common sense) – in der Umgangssprache. In diesen Bereichen bezieht sich „Logik“ oft auf Formen des Handelns, der Pragmatik. Ein Argument wird umgangssprachlich als „logisch“ bezeichnet, wenn dieses stichhaltig, zwingend, überzeugend, einleuchtend und klar erscheint. In einem logischen Argument soll die Fertigkeit des Denkens zum Ausdruck kommen.
Auch in gegenwärtigen Debatten ist weithin unbestritten, dass die Theorie des korrekten Folgerns den Kern der Logik ausmacht; umstritten ist jedoch, welche Theorien genau noch zur Logik zu rechnen sind und welche nicht. Strittige Fälle sind etwa die Mengenlehre, die Argumentationstheorie (die sich etwa unter pragmatischer Rücksicht mit Fehlschlüssen beschäftigt) und die Sprechakttheorie.
Geschichte der Logik
Teilgebiete Klassische Logik
Von klassischer Logik bzw. von einem klassischen logischen System spricht man genau dann, wenn folgende semantische Bedingungen erfüllt sind: Jede Aussage hat genau einen von zwei Wahrheitswerten, die meist als wahr und falsch bezeichnet werden. Man nennt dieses Prinzip das Prinzip der Zweiwertigkeit oder Bivalenzprinzip. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen und die Art, wie diese zusammengesetzt sind, bestimmt. Dieses Prinzip heißt das Prinzip der Extensionalität oder der Kompositionalität.
Der Begriff klassische Logik ist mehr im Sinn von etablierter, grundlegender Logik zu verstehen, weil die nichtklassischen Logiken auf ihr aufbauen, denn als historischer Verweis. Vielmehr war es so, dass bereits Aristoteles, sozusagen der klassische Vertreter der Logik, sich sehr wohl mit mehrwertiger Logik, also nichtklassischer Logik, beschäftigt hat.
Die wichtigsten Teilgebiete der formalen klassischen Logik sind die klassische Aussagenlogik, die Prädikatenlogik der ersten Stufe und Logik höherer Stufe, wie sie am Ende des 19. und am Anfang des 20. Jahrhunderts durch Gottlob Frege, Charles Sanders Peirce, Bertrand Russell und Alfred North Whitehead entwickelt wurden. In der Aussagenlogik werden Aussagen daraufhin untersucht, ob sie ihrerseits wieder aus Aussagen zusammengesetzt sind, die durch Junktoren (z. B. „und“, „oder“) miteinander verbunden sind. Besteht eine Aussage nicht aus durch Junktoren verbundenen Teilaussagen, dann ist sie aus Sicht der Aussagenlogik atomar, d. h. nicht weiter zerlegbar.
In der Prädikatenlogik lässt sich auch die innere Struktur von Sätzen darstellen, die aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar sind. Dargestellt wird die innere Struktur der Aussagen („Der Apfel ist rot.“) dabei durch Prädikate (auch Aussagefunktionen genannt) (ist rot) einerseits und durch deren Argumente andererseits (Der Apfel); dabei drückt das Prädikat zum Beispiel eine Eigenschaft (rot) aus, die auf sein Argument zutrifft, oder eine Relation, die zwischen seinen Argumenten besteht (x ist größer als y). Der Begriff der Aussagefunktion ist aus dem mathematischen Begriff der Funktion abgeleitet. Eine logische Aussagenfunktion hat genau wie eine mathematische Funktion einen Wert, der aber kein numerischer, sondern ein Wahrheitswert ist.
Der Unterschied zwischen Prädikatenlogik der ersten Stufe und Prädikatenlogik höherer Stufe besteht darin, worüber mittels der Quantoren („alle“, „mindestens ein“) quantifiziert wird: In der Prädikatenlogik erster Stufe wird nur über Individuen quantifiziert (z. B. „Alle Schweine sind rosa“), in der Prädikatenlogik höherer Stufe wird auch über Prädikate selbst quantifiziert (z. B. „Es gibt ein Prädikat, das auf Sokrates zutrifft“).
Formal bedarf die Prädikatenlogik einer Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren, Prädikatoren und Quantoren. Diese wird in der Stufenlogik, einer Form des typisierten Lambda-Kalküls, überwunden. Dadurch wird zum Beispiel die mathematische Induktion eine gewöhnliche, ableitbare Formel.
Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Ein Grundbegriff der Syllogistik ist der Begriff „Begriffe“; er wird dort nicht weiter zerlegt. In der Prädikatenlogik werden Begriffe als einstellige Prädikate ausgedrückt; mit mehrstelligen Prädikaten lässt sich zusätzlich die innere Struktur von Begriffen analysieren und damit die Gültigkeit von Argumenten zeigen, die syllogistisch nicht fassbar sind. Ein häufig zitiertes intuitiv eingängiges Beispiel ist das Argument „Alle Pferde sind Tiere; also sind alle Pferdeköpfe Tierköpfe“, das sich erst in höheren Logiken wie der Prädikatenlogik herleiten lässt.
Es ist technisch möglich, die formale Syllogistik des Aristoteles so zu erweitern und zu verändern, dass der Prädikatenlogik gleichmächtige Kalküle entstehen. Solche Unternehmungen sind im 20. Jahrhundert vereinzelt von philosophischer Seite her vorgenommen worden und sind philosophisch motiviert, zum Beispiel aus dem Wunsch heraus, auch rein formal Begriffe als elementare Bestandteile von Aussagen ansehen zu können und sie nicht prädikatenlogisch zerlegen zu müssen. Mehr zu solchen Kalkülen und den philosophischen Hintergründen findet sich im Artikel zur Begriffslogik.
Kalkültypen und logische Verfahren Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (semantisch gültige Aussagen heißen Tautologien, syntaktisch gültige Aussagen Theoreme) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt.
Insbesondere im Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits: Wahrheitstabellen
Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch nur im aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nach dem Schema einer Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind mehrere Varianten gebräuchlich: Resolution, Baumkalkül oder Beth-Tableaux (nach Evert Willem Beth)
Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen: Axiomatische Logikkalküle Systeme natürlichen Schließens Sequenzenkalküle Dialogische Logiken
Nichtklassische Logiken
Von nichtklassischer Logik bzw. einem nichtklassischen logischen System spricht man, wenn mindestens eines der beiden oben genannten klassischen Prinzipien (Zweiwertigkeit und/oder Extensionalität) aufgegeben wird. Wird das Prinzip der Zweiwertigkeit aufgegeben, entsteht mehrwertige Logik. Wird das Prinzip der Extensionalität aufgegeben, entsteht intensionale Logik. Intensional sind zum Beispiel die Modallogik und die intuitionistische Logik. Werden beide Prinzipien aufgegeben, entsteht mehrwertige intensionale Logik. (Siehe auch: :Kategorie:Nichtklassische Logik)
Philosophische Logiken
Philosophische Logik ist ein unscharfer Sammelbegriff für verschiedene formale Logiken, die die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik in unterschiedlicher Weise verändern beziehungsweise erweitern, in der Regel, indem sie deren Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichern. Philosophische Logiken sind meist nicht von direktem Interesse für die Mathematik, finden aber Anwendung zum Beispiel in der Sprachwissenschaft oder Informatik. Sie behandeln vielfach Fragestellungen, die weit in die Geschichte der Philosophie zurückreichen und teilweise schon seit Aristoteles diskutiert werden, zum Beispiel den Umgang mit Modalitäten (Möglichkeit und Notwendigkeit).
Der philosophischen Logik zugerechnet werden unter anderem folgende Gebiete: Modallogik führt modale Satzoperatoren wie „es ist möglich, dass…“ oder „es ist notwendig, dass…“ ein und untersucht die Gültigkeitsbedingungen modaler Argumente;