mini|Freie Schwingung eines Kragbalkens Die Technische Schwingungslehre, auch kurz Schwingungslehre, ist die Wissenschaft von den technischen Schwingungssystemen (Oszillatoren).

Schwingungen spielen in der Natur und Technik eine große Rolle. Bei schwingfähigen Bauteilen ist deren sichere Auslegung in allen Bereichen der Technik, insbesondere im Maschinenbau, Bauingenieurwesen und in der Elektrotechnik, von großer Bedeutung. Sie beschäftigt sich mit der Analyse von Schwingungssystemen, der Einteilung von Schwingungen und dem Entstehen von Schwingungen.

Wesentliche Eigenschaften mechanischer Schwingungssysteme sind ihre Steifigkeit und Trägheit, die sie befähigen eine Verformung zurückzustellen, dabei jedoch die Verformungsgeschwindigkeit aufrechtzuhalten. Diese widerstreitenden Eigenschaften führen im sich selbst überlassenen System nach einer irgendwie eingeleiteten, hinreichend kleinen Auslenkung (im linearen Bereich, wo keine Schäden auftreten) wie in der Animation zu Schwingungen. Deren wichtigste Kenngröße ist die Eigenkreisfrequenz, die den Takt der Schwingung vorgibt. Wird das System in diesem Takt, genauer in dieser Frequenz, angeregt, kann es zur Resonanzkatastrophe kommen, die es in technischen Systemen zu vermeiden gilt.

Sie ist eine theoretische Disziplin, die das vollständige Verständnis technischer Schwingungsphänomene anstrebt, dabei auch ihre mathematische Beschreibung nutzt, ohne sie zum Selbstzweck werden zu lassen. Schwingungen werden mit Differentialgleichungen beschrieben, die es aufzustellen, zu interpretieren und zu lösen gilt. Die Lösungen sind in ihrer physikalisch-technischen Bedeutung zu verstehen. Kenntnisse der technischen Schwingungslehre sind in der Entwicklung und Konstruktion unabdingbar.

Die Wellenlehre untersucht sich räumlich ausbreitende Schwingungen. In Abgrenzung dazu, befasst sich dieser Artikel mit stationären Schwingungen, wie sie beim Federpendel oder Kragbalken vorkommen, siehe Bild.

Grundsätzliches Einteilung von Schwingungen und Grundbegriffe Unter einer Schwingung wird ein sich in gleicher Weise wiederholender Vorgang verstanden, bei dem eine physikalische Größe (wie z. B. der Weg oder die Winkelauslenkung) abwechselnd zu- und abnimmt. Beispiele sind Pendel, Seegang, elektrische Schwingkreise oder Erdbebenwellen. Folgende Begriffe werden häufig benutzt: Schwinger Schwingende mechanische Systeme werden auch kurz Schwinger genannt. Zustandsgröße, Verallgemeinerte Koordinate Sie ist die interessierende physikalische Größe, wie die Lage eines Partikels, die zeitlichen Schwankungen unterliegt. Zeitlicher Verlauf Deterministische sich wiederholende Schwingungen, deren Frequenzanalyse meist die Grundlage der Beurteilung bilden. Aber auch Zufallsschwingungen kommen vor, die beispielsweise vom Wind (siehe Tacoma-Narrows-Brücke#Einsturz der Brücke von 1940) oder von Erdbebenwellen angefacht werden. Mit stochastischer Anregung werden Betriebsschwingformen ermittelt. Periodische Schwingung Bei periodischen Schwingungen wiederholt sich der Verlauf mit der Zeit, siehe #Periodische Schwingungen und Funktionen Entstehung der Schwingung Eine autonome Schwingung erfolgt ausschließlich in vom System selbst bestimmten Frequenzen; freie Schwingungen auch als Überlagerung von Eigenschwingungen sind eine Untergruppe. Die in der Einleitung erwähnten Schwingungen sich selbst überlassener Systeme fallen in diese Kategorie. Auch selbsterregte Schwingungen wie beim Pendel sind autonom. Bei heteronomen Schwingungen werden die Frequenzen von äußeren Einflüssen verändert. In der Untergruppe der erzwungenen Schwingungen treten zeitlich schwankende Einflüsse wie Kräfte oder Momente auf, die dem System eine Frequenz aufzwingen. In parametererregten Schwingungen ändert sich eine Systemeigenschaft mit der Zeit, sodass Schwingungen angefacht werden. Ein Beispiel ist die Schaukel, bei der die Schwingung durch Streck- und Beugebewegungen buchstäblich aufgeschaukelt wird. Dämpfung Sie bewirkt eine Abnahme der Schwingweite in Eigenschwingungen. Bei oszillatorischer Instabilität tritt negative Dämpfung auf, durch die die Schwingung angefacht wird, siehe #Dämpfung technischer Systeme und Stabilitätstheorie. Zahl der Bewegungs­freiheitsgrade Sie gibt die Anzahl der notwendigen, voneinander kinematisch unabhängigen Bewegungsmöglichkeiten an, mit denen der Zustand eines Systems eindeutig angegeben wird. Häufig können alle trägheitsbehafteten Systemteile als starr angenommen werden, wodurch diskrete Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden entstehen, was die Analyse vereinfacht. Bewegungsform Bei kontinuierlicher Massenbelegung ersetzt die Bewegungsform die Freiheitsgrade. Beim oft benutzten Balken ist die Unterscheidung von Schwingbewegungen in Balkenlängsrichtung als Längs- oder Longitudinalschwingung, in Querrichtung als Quer- oder Transversalschwingung und bei Verwindung als Verdreh- oder Torsionsschwingung vorteilhaft, siehe #Schwingungen der Kontinua Schwingungsdifferentialgleichung Dies ist die Differentialgleichung, die die Schwingung beschreibt, und wird auch kurz Schwingungsgleichung genannt. Im diskreten System sind es Gewöhnliche Differentialgleichungen, im kontinuierlichen Modell Partielle Differentialgleichungen. Lineare und nichtlineare Schwingungssysteme Lineare Systemmodelle sind von großem Vorteil, denn sie lassen sich überlagern und besitzen erregungsunabhängige Systemkenngrößen. Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen beschreiben lineare Schwinger. Die Zeitinvarianz der betrachteten Schwinger ist das Ziel der Auslegung. Nichtlineare mechanische Schwingungssysteme kennzeichnet Bewegungsdifferentialgleichungen, die allgemeine nichtlineare Abhängigkeiten von Bewegungs- oder Kraftgrößen enthalten. Die Phänomene nichtlinearer Schwingungen sind vielfältig. Es gibt keine Invarianten mehr; beispielsweise kann die „Eigenkreisfrequenz“ von den Anfangsbedingungen abhängen. Häufig führen Linearisierungen am Betriebspunkt zu befriedigenden Ergebnissen.

Periodische Schwingungen und Funktionen mini|Wiedergabe einer Schwingung durch die harmonische Funktion cos.

Bei periodischen Schwingungen wiederholt sich der Verlauf mit der Zeit (t), und Periodische Funktionen können sie kompakt beschreiben, siehe Animation. Die Zeitspanne, bis die Wiederholung auftritt, ist die Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer T, ihr Kehrwert die Frequenz f der Schwingung, das 2π-fache der Frequenz die Kreisfrequenz ω der Schwingung, und die Anzahl der Schwingungen pro Minute ist die Schwingungszahl n.

Die Amplitude ist die maximale Auslenkung, und Schwingungen mit konstanter Amplitude, wie die hier angegebenen, heißen ungedämpft. Schwingungen mit abnehmender Amplitude sind gedämpft und solche mit wachsender Amplitude angefacht. Der Spitze-Tal-Wert entspricht der doppelten Amplitude.

Ein wichtiger Sonderfall periodischer Schwingungen sind die harmonischen Schwingungen wie in der Animation oben, bei denen die Größe mit dem Sinus und Kosinus, sin bzw. cos, in der Zeit t verläuft. Periodische Funktionen können mit (unendlichen) Summen von harmonischen Funktionen dargestellt werden.

mini|Die Summe (Überlagerung) der roten und blauen Kurve ist die immer noch periodische schwarze Kurve (eine Schwebung) Bei der Überlagerung harmonischer Schwingungen sind zwei Fälle zu unterscheiden: Wenn die beiden Kreisfrequenzen in einem rationalen Verhältnis ω1/ω2=p/q mit ganzzahligen sowie teilerfremden p und q stehen, dann ist die sich einstellende Schwingung nicht mehr harmonisch, aber periodisch mit der Periodendauer T=pT1=qT2. Wenn die beiden Kreisfrequenzen in keinem rationalen Verhältnis stehen, ist ihre Überlagerung nicht mehr periodisch. Falls die Frequenzen der beiden Schwingungen nahe beieinander liegen kommt es zu einer Schwebung, wie im Bild.

In Fourierreihen wird eine periodische Schwingung als Überlagerung einer harmonischen Grundschwingung mit ihren Harmonischen dargestellt; hier sind die Kreisfrequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Die Sägezahn- und Rechteckschwingung sind Schwingungen, die eine Überlagerung von unendlich vielen harmonischen Schwingungen sind. Mittels der Fourier-Analysis können Zeitsignale in ihre Frequenzanteile zerlegt werden, und umgekehrt kann aus den Frequenzanteilen das Signal zusammengesetzt werden. In der Mess- und Regelungstechnik ist auch das kontinuierliche Spektrum bedeutsam, das aus der Fourier-Transformation entsteht. Mittels der FFT kann ein zeitdiskretes Signal, wie es bei Messungen anfällt, in seine Frequenzanteile zerlegt und analysiert werden.

Harmonische Schwingungen können mit dem Zeigermodell in der Animation unten anschaulich dargestellt werden. Ihre allgemeine Bewegungsfunktion als Funktion der Zeit t ist

mit Kreisfrequenz ω, Konstanten , Amplitude und Nullphasenwinkel φ0=atan2(B,A). Die Zeitableitungen der Bewegungsfunktion liefern die Geschwindigkeit und die Beschleunigung:

Hat die Schwingung zu Beginn (bei t=0) die Auslenkung x0 und die Geschwindigkeit v0, dann berechnen sich die Konstanten

Darstellung mit komplexen Zahlen mini|Animiertes Zeigermodell Die mathematische Behandlung wird kürzer und eleganter, wenn komplexe Zahlen mit der imaginären Einheit j2=−1 eingeführt werden. Es ändert sich dadurch nichts an den physikalischen Zusammenhängen, siehe Animation. Die xy-Ebene wird als Gaußsche Zahlenebene aufgefasst, in der eine komplexe Zahl z=x+jy mit Realteil x und Imaginärteil y einen Punkt darstellt, rot in der Animation. Die reellen Parameter der Zahl beschreiben das beobachtete System: In der Animation stellt der Imaginärteil (die y-Koordinate) die Auslenkung dar, der Realteil (die x-Koordinate) ist zur Geschwindigkeit des Pendelkörpers proportional und der Betrag (r) ist die Amplitude der Schwingung des Federpendels.

Die Polardarstellung der komplexen Zahl ist z=r·ejφ mit Betrag r=|z| und Argument φ=atan2(y,x), das den Winkel angibt, mit dem die positive x-Achse gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht werden muss, damit sie durch die Zahl z führt (ein negatives Argument bedeutet eine Drehung im Uhrzeigersinn.) In dieser Darstellung besitzt das Argument dasselbe Vorzeichen wie der Imaginärteil y. An der Stelle z=−r springt das Argument von φ=π nach φ=−π, was der Tatsache entspricht, dass der Hauptwert des komplexen Logarithmus auf der negativen reellen Achse nicht stetig ist. Wird z=r·ejφ mit einer anderen komplexen Zahl V·ejζ multipliziert, ergibt das w=V·r·ej(φ+ζ), d. h. w hat gegenüber z den V-fachen Betrag und ist um den Winkel ζ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Die konjugiert komplexe Zahl :=V·e−jζ dreht entsprechend im Uhrzeigersinn. Beispielsweise kann ein #Komplexer Frequenzgang bei harmonischer Erregung elegant in dieser Weise beschrieben werden.

Dämpfung technischer Systeme mini|Gedämpfter Schwinger In realen Systemen nehmen die Auslenkungen von freien Schwingungen durch Energie­dissipation mit der Zeit ab bis das System zur Ruhe kommt: Reale Schwingungen sind gedämpft. Als Ursachen kommen in Frage: Dämpfung durch Schwingungsdämpfer Diese werden eingebaut, um ein bestimmtes Schwingungsverhalten zu erzielen, z. B. Stoßdämpfer im Fahrwerk. Ziel kann eine Schwingungstilgung oder Resonanzabsorption sein. Umgebungsdämpfung Das System bewegt sich in Luft, einem anderen Gas oder in einer Flüssigkeit. Je nachdem, ob das umgebende Medium in Ruhe oder selbst in Bewegung ist, liegt hydrostatische bzw. hydrodynamische Dämpfung vor. Material- oder Werkstoffdämpfung Die Dämpfung entsteht z. B. durch quantenmechanische Prozesse in und zwischen den kristallinen Körnern und Phasen eines Materials, Schlupf auf mikroskopischer Ebene oder durch Wachstum von Mikrorissen. Metalle weisen eine geringere Werkstoffdämpfung auf als Kunststoffe. Lagerdämpfung