Diophantische Gleichung

In der algebraischen Zahlentheorie ist eine diophantische Gleichung eine Gleichung der Form , wobei eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Lösungen für gesucht werden. Diese Gleichungen sind nach dem griechischen Mathematiker Diophantos von Alexandria (mutmaßlich um 250) benannt.

Gleichungen dieser Art ergeben sich, wenn Teilbarkeitsfragen beantwortet werden sollen, wenn es sich um Probleme der Kongruenzarithmetik handelt oder wenn bei Problemen in der Praxis nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll sind, z. B. für die Stückzahlverteilung bei der Herstellung von mehreren Produkten.

Neben diophantischen Gleichungen gibt es noch diophantische Ungleichungen , die in der ganzzahligen linearen Optimierung Anwendung finden, und diophantische Approximationen , die in der Theorie der Kettenbrüche eine Rolle spielen oder zumindest mit dieser verbunden sind.

Diophantische Gleichungen

Hintergründe

Diophantische Gleichungen sind algebraische Gleichungen, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden. Oft, aber nicht immer, sind auch die Koeffizienten der Gleichung ganzzahlig. Meistens sind diophantische Gleichungen unterbestimmte Gleichungssysteme mit mehr Variablen als Gleichungen. Üblich ist eine Gleichung mit mindestens zwei Variablen. Über den reellen oder komplexen Zahlen beschreiben sie algebraische Kurven (oder andere geometrische Formen), deren Geometrie mit der Frage der Existenz und Konstruktion von ganzzahligen Lösungen eng zusammenhängt. Das wird in der „arithmetischen Geometrie“ behandelt, einer Überschneidung von algebraischer Geometrie und Zahlentheorie. Das wichtigste Beispiel sind elliptische Kurven, deren verborgene Gruppenstruktur (Torus-Geometrie der zugehörigen Riemannschen Fläche) sich auch auf die ganzzahligen Punkte überträgt.

Diophantische Gleichungen sind sehr beliebt als Knobelaufgaben oder als Aufgaben für Mathematikolympiaden, da es keinen generischen Lösungsweg gibt und die Lösung oft erhebliche Kreativität erfordert. Gleichzeitig sieht man aber diophantischen Gleichungen im Allgemeinen nicht an, ob sie mit „elementaren“ Methoden lösbar sind oder ob dahinter eine tiefliegende Theorie steckt, die – wie bei der Großen Fermatschen Vermutung – jahrhundertelang eine Lösung unmöglich machten.

Beispiele

Die lineare Gleichung mit . Durch Probieren erhält man als eine Lösung das Paar . Weiterhin gilt , d. h., man kann um verringern und kann das durch Erhöhen von um exakt kompensieren. Dadurch kommt man zu weiteren Lösungen wie und . Die lineare Gleichung mit . Obwohl mit drei Variablen und nur einer Gleichung deutlich unterbestimmt, gibt es als sogar eindeutige Lösung das Tripel . Es stellt eine klassische kaufmännische Aufgabe dar: Ein Grieche hat 140 Drachmen, ein Schwein kostet 25 Drachmen, ein Schaf 19 Drachmen und eine Ziege 12 Drachmen. Das Geld muss aufgebraucht werden, was kann man unter dieser Maßgabe überhaupt kaufen? Darf Geld übrigbleiben, handelt es sich um eine diophantische Ungleichung. Die quadratische Gleichung mit . Die 8 Lösungen sind und und sind die Punkte eines Kreises mit dem Radius und dem Mittelpunkt , die gerade auf den ganzzahligen Gitterpunkten liegen. Die Lösungsmenge der algebraischen Gleichung ist der gesamte Kreisrand. Die quadratische Gleichung hat als Lösungen die unendlich vielen Zahlenpaare ; allgemein: mit . Die Gleichung 6. Grades hat als Lösung das Tripel , hat keine Lösung und hat die vier Lösungen , für gibt es sogar 8 Lösungen. Die lineare Gleichung besitzt keine Lösung, weil 4 nicht durch 3 teilbar ist und es daher keine ganze Zahl gibt, deren Dreifaches 4 ergibt. ist keine diophantische Gleichung, da die verwendeten Funktionen und keine Potenzfunktionen darstellen (sondern Exponential und Fakultät). In der Literatur bezeichnet man allerdings solche Gleichungen auch als diophantische Gleichungen.

Weiteres

Man kann diophantische Gleichungen für die Gaußschen Zahlen verallgemeinern. Für lineare Gleichungen sind die gleichen Lösungsansätze wie für ganze Zahlen nutzbar, da der euklidische Algorithmus für Gaußsche Zahlen erweiterbar ist. Entsprechend kann man diophantische Gleichungen für andere algebraische Zahlkörper betrachten. Dort wird dann nach einer Lösung im Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers gesucht.Zum Beispiel Peck: Diophantine equations in algebraic number fields. American Journal of Mathematics, Band 71, 1949, S. 387–402, Jstor, erste Seite. Eine diophantische Gleichung ist ein Spezialfall eines diophantischen Gleichungssystems. Beispiel für ein diophantisches Gleichungssystem ist

mit . Lösungen haben die Form .

Lineare diophantische Gleichung

Diophantische Gleichungen, in denen keine höheren als erste Potenzen der Unbekannten vorkommen, nennt man linear. Für sie gibt es Algorithmen, mit deren Hilfe man stets nach endlich vielen Schritten alle Lösungen findet.

Berühmte diophantische Gleichungen

Berühmte diophantische Gleichungen sind alle nichtlinearen diophantische Gleichungen, die sich (bis auf die Pythagoreischen Tripel) schlecht bis überhaupt nicht generisch lösen lassen, was deren Reiz ausmacht.

mini|hochkant=0.55|Kleinstes Tripel Pythagoreische Tripel  a2 + b2 = c2

Die unendlich vielen ganzzahligen Lösungen von nennt man pythagoreische Tripel. Man findet sie durch den Ansatz

mit . Neben ist auch mit immer eine Lösung.

Pythagoreische Tripel stellen neben linearen diophantischen Gleichungen eines der ältesten Beispiele dar, zum Beispiel auf babylonischen Keilschrifttafeln aus dem 2. Jahrtausend v. Chr.

Fermats letzter Satz  an + bn = cn  mit  n > 2

Wenn man obige Gleichung zu verallgemeinert, erhält man eine diophantische Gleichung vom Grad . Als Fermats letzten Satz bezeichnet man die von Pierre de Fermat vor 400 Jahren aufgestellte Behauptung, dass sie für keine ganzzahlige Lösung besitzt (außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen ist), was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde. Dahinter steckt die Taniyama-Shimura-Vermutung, die heute vollständig bewiesen ist und nach der alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen modular sind (eine ganzzahlige Lösung der Fermatgleichungen hätte auf eine Ausnahme geführt).

Den Fall löste schon Fermat mit der von ihm eingeführten Methode des unendlichen Abstiegs, die auch bei der Frage der Lösbarkeit anderer diophantischer Gleichungen Anwendung fand, aber, wie sich bald herausstellte, keine universell anwendbare Methode war.

Die unbewiesene abc-Vermutung macht allgemeine Aussagen über Lösungstripel diophantischer Gleichungen der Form (dabei seien positive ganze Zahlen und teilerfremd) und schränkt deren mögliche Lösungen ein, indem sie eine obere Schranke für in Abhängigkeit von der gemeinsamen multiplikativen Struktur (Primfaktorzusammensetzung) von liefert. Die Vermutung nimmt eine zentrale Stellung in der Zahlentheorie und speziell der Theorie diophantischer Gleichungen ein, da viele bekannte Sätze, auch die Lösung der großen Fermatvermutung, daraus folgen.

Eulersche Vermutung für n = 4:  a4 + b4 + c4 = d4

Leonhard Euler vermutete (obwohl er fand), dass es für

keine ganzzahligen Lösung gibt. Euler irrte, es fanden sich aber erst 1987, 1988 und 1997 folgende Lösungen:

Für n ≥ 5 Übrigens wurde schon 1966 für , d. h. für mit

eine Lösung gefunden. Weitere Lösungen sind:

Für ist keine Lösungen bekannt.

Für und wurden folgende Lösungen gefunden:

mini|hochkant=0.85|Dreiecks- und Quadratzahl 36

Quadrat-Dreieckszahlen  a∕2 · (a+1) = b2

Zahlen, die gleichzeitig Quadrat- wie Dreieckszahlen sind, nennt man Quadrat-Dreieckszahlen. Die unendlich lange Reihe von Lösungen beginnt mit den trivialen Lösungen 0 und 1 und setzt sich fort mit 36, 1225, 41616, 1413721, …

Summe dreier Kubikzahlen  a3 + b3 + c3 = n mini|hochkant=0.75|Lösungen der Gleichung a3+b3+c3=n

Für ein gegebenes sind gesucht , sodass gilt.

Für existieren keine Lösungen, für existieren mutmaßlich Lösungen. Dies ist aber nicht sicher bekannt, genauso wie nicht bekannt ist, wie viele Lösungen es für ein gegebenes gibt.

Beispiele für jeweils kleinste Lösungen:

Pellsche Gleichung  a2 − n b2 = 1

Neben den linearen diophantischen Gleichungen ist die sogenannte Pellsche Gleichung

besonders wichtig, wobei für ein gegebenes natürliches zunächst das kleinste Wertepaar zu suchen ist, aus dem sich dann alle anderen Paare leicht finden lassen. Wenn eine Quadratzahl ist, hat diese Gleichung nur die trivialen Lösungen , ansonsten hat sie unendlich viele Lösungen. Die Auflösung der Pellschen Gleichung ist gleichbedeutend mit dem Aufsuchen der Einheiten im Ring der algebraisch ganzen Zahlen des quadratischen Zahlkörpers , der aus dem rationalen Zahlkörper durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus entsteht.

Summe dreier Quotienten  a∕b+c + b∕c+a + c∕a+b = n

Für ein gegebenes sind gesucht , sodass

gilt.

Die Gleichung hat Lösungen für gerade , für ungerade existieren keine Lösungen.

Für ist die kleinste Lösung mit

einfach zu finden. Was aber so harmlos daherkommt, entpuppt sich schon für als Zahlenmonster. Dafür lautet die kleinste Lösung:

Für findet man die Lösung bei github.com.Lösung für n=16 Für hat die kleinste Lösung knapp 400 Millionen Dezimalstellen.Andrew Bremner, Allan Macleod: An unusual cubic representation problem. (PDF; 772 kB). In: ami.uni-eszterhazy.hu. 2014.How do you find the positive integer solutions to a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = n. In: quora.com. Interessant ist, dass man im Gegensatz zu den Kubensummen die Werte ausrechnen kann.

Verallgemeinerte Catalansche Vermutung ap − bq = n

Gesucht sind zwei beliebige ganzzahlige Potenzen, die sich um n voneinander unterscheiden. Für existiert genau eine Lösung , was 1844 von Eugène Charles Catalan explizit vermutet wurde und 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen wurde.

mini|hochkant=0.8|Archimedes’ Rinderproblem Weitere bekannte diophantische Gleichungen Erdős-Moser-Gleichung Erdős-Straus-Vermutung Fermat-Catalan-Vermutung Pythagoreisches Quadrupel Ramanujan-Nagell-Gleichung Rinderproblem des Archimedes Taxicab-Zahl Waringsches Problem

Einige allgemeine Lösungsmethoden und Endlichkeitssätze für Klassen diophantischer Gleichungen

Axel Thue zeigte 1908,A. Thue: Bemerkungen über gewisse Näherungsbrüche algebraischer Zahlen. Vid.-Selsk., Math.-Naturwiss. Klasse, Nr. 3, Oslo 1908. dass die Gleichung

mit einer irreduziblen Form vom Grad größer oder gleich 3 in zwei VariablenAnders ausgedrückt: hat mindestens drei verschiedene Wurzeln. und einer ganzen Zahl nur endlich viele Lösungen hat (solche Gleichungen werden Thue-Gleichungen genannt). Das baute auf seinen Abschätzungen algebraischer Zahlen durch rationale auf (solche Untersuchungen werden diophantische Approximationen genannt) und ist nicht effektiv (das heißt, man erhält daraus kein Lösungsverfahren). Für den Grad 2 gilt der Satz nicht, das zeigt schon die Pellsche Gleichung mit unendlich vielen Lösungen.

Alan BakerA. Baker: Contributions to the Theory of Diophantine Equations. I. On the Representation of Integers by Binary Forms. Phil. Transactions Royal Society, Band 263, 1968, S. 173–191. gab 1968 eine effektive obere Grenze für die Lösungen von Thue-Gleichungen mit seiner Methode der linearen Formen in Logarithmen algebraischer Zahlen, ein effizienter Algorithmus zu ihrer Lösung wurde 1989 durch De Weger und Tzanakis angegeben.N. Tzanakis, B. M. M. De Weger: On the practical solution of the Thue equation. J. of Number Theory, Band 31, 1989, S. 99–132.