mini|hochkant|Gedenktafel – Humboldt-Universität zu Berlin Die Planck-Konstante oder das Plancksche Wirkungsquantum ist eine fundamentale Naturkonstante in der Quantenphysik. Sie ist das Verhältnis von Energie () und Frequenz () eines Photons, entsprechend der Formel . Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines Teilchens oder physikalischen Systems und der Frequenz seiner quantenmechanischen Phase. Die Planck-Konstante verknüpft Eigenschaften, die vorher in der klassischen Physik entweder nur Teilchen oder nur Wellen zugeschrieben wurden. Damit ist sie die Basis des Welle-Teilchen-Dualismus der modernen Physik.
Die reduzierte Planck-Konstante ist das Quant des Drehimpulses.
Max Planck entdeckte diese Konstante in den Jahren 1899 und 1900 und gab ihr den Namen „elementares Wirkungsquantum“, weil sie bei „elementaren Schwingungsvorgängen“ eine entscheidende Rolle spielt und die gleiche Dimension wie die physikalische Größe Wirkung hat. Außerhalb des deutschen Sprachraums ist die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ (engl.: quantum of action) wenig üblich.
Planck betrachtete diese neu entdeckte Konstante neben der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit als die dritte der fundamentalen Naturkonstanten der Physik. Zusammen bilden diese Konstanten die Grundlage des natürlichen Einheitensystems der Planck-Einheiten, wobei heutzutage meistens statt gewählt wird.
Definition Die Planck-Konstante ist für jedes physikalische System, das harmonisch schwingen kann, das stets gleiche Verhältnis des kleinstmöglichen Energieumsatzes zur Schwingungsfrequenz. Größere Energieumsätze sind nur möglich, wenn sie ganzzahlige Vielfache dieses kleinsten Energiebetrages sind. Diese Quantelung der Energie ist allerdings so fein, dass sie sich in makroskopischen Systemen praktisch nicht bemerkbar macht. Auch Planck gelang die Entdeckung nur auf indirekte Weise.
Darüber hinaus gilt für jedes physikalische System, dass das Verhältnis seines gesamten Energieinhalts zur Frequenz seiner quantenmechanischen Phase ist.
Die Planck-Konstante hat die Dimension von Energie mal Zeit, die Wirkung genannt wird. Die Wirkung selbst ist allerdings nicht gequantelt, wie man irrtümlich aus der Bezeichnung als Wirkungsquantum ableiten könnte und wie es in der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung auch zeitweilig angenommen worden war.
Die Planck-Konstante erhält ihre universelle Bedeutung durch ihr Auftreten in den Grundgleichungen der Quantenphysik (Schrödinger-Gleichung, Heisenbergsche Bewegungsgleichung, Dirac-Gleichung).
Einige allgemeingültige Folgen Jede harmonische Schwingung (mit Frequenz , Kreisfrequenz ) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des Schwingungsquants sind. Insbesondere übertragen Licht und andere elektromagnetische Wellen Energie nicht kontinuierlich, sondern in Quanten mit der Energie . Jedes physikalische System kann seinen Drehimpuls (genauer: die Projektion des Drehimpulsvektors auf eine beliebige Gerade) nur um ganzzahlige Vielfache von ändern. Jedem physikalischen System mit Impuls ist eine Materiewelle mit der Wellenlänge zugeordnet. Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie und Kreisfrequenz seiner quantenmechanischen Phase die Gleichung . Je zwei Variablen eines physikalischen Systems, die zueinander kanonisch konjugiert sind (z. B. Ort und Impuls eines Teilchens, oder verallgemeinerter Ort und verallgemeinerter Impuls, z. B. Drehwinkel und Drehimpuls), erfüllen eine Unschärferelation, der zufolge sie in keinem Zustand des Systems beide gleichzeitig wohldefinierte Werte besitzen können. Vielmehr gilt für die Streuungen (genauer: Standardabweichungen) der gleichzeitigen Messwerte beider Variablen: .
Wert und Zeichen
Im Internationalen Einheitensystem (SI)
Die Planck-Konstante gehört zu den Naturkonstanten, denen im Internationale Einheitensystem (SI) seit der Revision von 2019 ein fester Wert zugewiesen ist und die nun ihrerseits zur Definition von Einheiten anderer physikalischer Dimensionen dienen, z. B. Kilogramm als Einheit der Masse. Deshalb hat die Planck-Konstante im SI einen exakten Wert, der auf
festgelegt wurde. In der Einheit Elektronenvolt durch Hertz hat h den – ebenfalls exakten – Wert: .
Bis zur SI-Reform am 20. Mai 2019 war h auf Grundlage der damals gültigen Einheiten für Kilogramm, Meter und Sekunde experimentell zu bestimmen und war demgemäß mit einer Messunsicherheit behaftet. Der letzte Wert betrug , wobei die eingeklammerte Zahl die geschätzte Unsicherheit angibt und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern bezieht.
Reduzierte Planck-Konstante
Der Quotient (gesprochen: „h-quer“) wird als die reduzierte Planck-Konstante bezeichnet. Diese Konstante kommt in vielen Gleichungen vor, zum Beispiel wenn anstelle der Frequenz die Kreisfrequenz verwendet wird, bei der Quantelung des Drehimpulses oder bei der Formulierung der Unschärferelation. Die reduzierte Planck-Konstante wird manchmal auch nach Paul Dirac als Dirac-Konstante bezeichnet.
Oft wird das Produkt mit der Lichtgeschwindigkeit benötigt, das wegen seiner Dimension Energie mal Länge einen universellen Zusammenhang zwischen Energie- und Längenskala ausdrückt.J. Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. 2. Auflage, Springer Verlag 2013, ISBN 978-3-642-32578-6, Seite 43–45. In den in der Kernphysik üblichen Einheiten MeV und fm gilt:
Da ebenfalls exakt definiert ist, ist auch das Produkt exakt.
Zeichen Im Unicode liegen die Symbole für die Planck-Konstante und für die reduzierte Planck-Konstante auf Position U+210E (ℎ) bzw. U+210F (ℏ). In LaTeX ist das Symbol als \hbar verwendbar. Manche LaTeX-Pakete wie amssymb.sty bieten mit \hbar und \hslash zwei Varianten an.
Historisches zur Entdeckung und Rezeption
Wärmestrahlung I (Planck 1899) Max Planck war 1899 auf eine neue Naturkonstante gestoßen, als er auf der Basis der statistischen Physik eine thermodynamische Beschreibung der Wärmestrahlung Schwarzer Körper, auch Hohlraumstrahlung genannt, entwickelte. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz sollten das Spektrum der Wärmestrahlung und dessen Temperaturabhängigkeit, wie sie etwa an Holzkohle beim Übergang von Rotglut zu Weißglut sichtbar ist, für alle ideal Schwarzen Körper exakt gleich sein, völlig unabhängig von ihrer sonstigen Beschaffenheit. Die Berechnung des Spektrums galt daher als ein herausragendes ungelöstes Problem der theoretischen Physik.
Die Messwerte zeigen im hochfrequenten (d. h. kurzwelligen) Bereich des Spektrums eine charakteristische Abnahme der Intensität zu höheren Frequenzen hin. Diese lässt sich gut durch einen Exponentialfaktor wiedergeben ( Frequenz, Temperatur, ein fester Parameter). Diese als Wiensches Strahlungsgesetz bezeichnete Formel widerspricht aber jeder theoretischen Herleitung aus der klassischen Physik. Planck konnte jedoch eine neuartige theoretische Herleitung angeben. Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den Wänden eines Hohlraums und den elektromagnetischen Wellen in seinem Innern. Die Wände modellierte er als Ansammlung emittierender und absorbierender Oszillatoren und wählte für deren Entropie eine neuartige geeignete Formel mit zwei freien Parametern und . Diesen Parametern kam aufgrund der allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zu. erwies sich als der oben im Wienschen Strahlungsgesetz genannte Parameter, als Produkt von mit der Boltzmann-Konstante . Für , das später in umbenannt wurde, gab Planck den Wert an, der nur um 4 % vom heutigen Wert für abweicht. Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von universellen Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die Planck-Einheiten.
Wärmestrahlung II (Planck 1900) Neue Messungen widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz und damit auch der von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten, dass im niederfrequenten (d. h. langwelligen, infraroten) Teil der Wärmestrahlung die Intensität zu größeren Frequenzen hin zunächst zunimmt, bevor sie dem Wienschen Strahlungsgesetz gemäß wieder abnimmt. Diese Zunahme entsprach gut dem Rayleigh-Jeans-Gesetz, wie es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem Gleichverteilungssatz der statistischen Mechanik abgeleitet worden war. Allerdings sagte dieses Gesetz auch eine unbegrenzte Zunahme der Intensität bei weiter steigender Frequenz voraus, was als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wurde und den Messungen im hochfrequenten Teil des Spektrums (s. o.) widersprach. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst danach neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als Plancksches Strahlungsgesetz bezeichnete Ergebnis nur, indem er den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes zunächst versuchsweise wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor interpretierte und darin für die je nach Frequenz verschiedenen diskreten Energiestufen ansetzte. Verschiedentlich findet sich die unbelegte Aussage, Planck habe den Buchstaben von Hilfsgröße abgeleitet. Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei gerade um das erwähnte Produkt handelt.
Damit schrieb Planck den Oszillatoren die neue Eigenschaft zu, dass sie ihre Energie nur auf diskrete Weise in Schritten der endlichen Größe ändern könnten. Er führte damit erstmals eine Quantelung einer scheinbar kontinuierlich variierbaren Größe ein, eine Vorstellung, die der Physik damals, als auch die Atomhypothese teilweise noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd war.“[…] here was something entirely new, never before heard of, which seemed called upon to basically revise all our physical thinking, built as this was, since the establishment of the infinitesimal calculus by Leibniz and Newton, upon the acceptance of the continuity of all causative connections.”„[…] hier war etwas völlig Neues, noch nie vorher Gehörtes, das berufen zu sein schien, unser ganzes physikalisches Denken, welches seit der Einführung der Infinitesimalrechnung durch Leibniz und Newton auf der Annahme der Kontinuität aller kausalen Zusammenhänge beruht, grundlegend zu revidieren.“ Max Planck, Nobelpreisvortrag, 2. Juni 1920 Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der Nobelpreis für Physik zuerkannt.
h und die Lichtquanten Albert Einstein analysierte 1905 den photoelektrischen Effekt, der ebenfalls mit der klassischen Physik unvereinbar ist. Einstein war einer der wenigen Physiker, die die fundamentale Bedeutung von Plancks Arbeit früh erkannten und nutzten. Er konnte den photoelektrischen Effekt mit Hilfe der Lichtquantenhypothese erklären, der zufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht, im Gegensatz zu Plancks damaliger Ansicht, die elektromagnetische Strahlung selbst aus teilchenartigen Objekten, den Lichtquanten, deren Energie je nach Frequenz der Lichtwelle durch die Gleichung gegeben ist. Später wurde diese Gleichung die Einsteinsche Gleichung für das Lichtquant genannt. Damit erkannte Einstein erstmals den Welle-Teilchen-Dualismus, ein neues Problem für die Physik. Nicht zuletzt deshalb brauchte auch diese Analyse Jahre, um sich durchzusetzen. 1921 brachte sie Einstein den Nobelpreis ein.
h und die spezifische Wärme fester Körper