Die temperierte Fundamentalgruppe bezeichnet in der algebraischen Geometrie eine topologische Gruppe, die als Automorphismengruppe eines Faserfunktors auf der Kategorie der temperierten Überdeckungen eines analytischen Raumes definiert ist. Sie ist ein nichtarchimedisches Analogon der topologischen Fundamentalgruppe komplexer algebraischer Varietäten und allgemeiner von Schemata über einem Grundkörper. Im Gegensatz zur topologischen Fundamentalgruppe ist sie im Allgemeinen nicht diskret, sondern eine separierte, pro-diskrete topologische Gruppe.

Die Kategorie der temperierten Überdeckungen ist eine Kategorie von Überdeckungen eines nichtarchimedischen analytischen Raums . Im nichtarchimedischen Fall unterscheiden sich die Kategorien der topologischen Überdeckungen und der étalen Überdeckungen wesentlich. Die Kategorie der temperierten Überdeckungen bildet eine Zwischenkategorie

Die Kategorie der temperierten Überdeckungen ist die Kategorie der étalen Überdeckungen, die sich als Quotienten einer topologischen Überdeckung nach einer endlichen étalen Überdeckung darstellen lassen. Die temperierte Fundamentalgruppe wirkt auf den Fasern temperierter Überdeckungen und ermöglicht es, diese Überdeckungen mittels kontinuierlicher Gruppenwirkungen zu beschreiben. Sie klassifiziert die temperierten Überdeckungen.

Die temperierte Fundamentalgruppe wurde 2003 von dem französischen Mathematiker Yves André im Rahmen seiner Theorie temperierter étaler Überdeckungen eingeführt.

Temperierte Überdeckung Sei ein vollständiger (nichtarchimedischer) Körper, eine -algebraische Varietät und ein -analytischer Raum im Sinne von Berkowitsch. Es werden zuerst die Begriffe étale Überdeckung und Quotient einer solchen Überdeckung wiederholt: Eine étale Überdeckung ist ein Morphismus analytischer Räume, sodass für jeden Punkt eine offene Umgebung von existiert, für die gilt und die Morphismen endlich étal sind. Sei eine étale Überdeckung und eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten, die eine Äquivalenzrelation auf über bildet. Dann nennt man den Quotienten von bezüglich . Der Quotient ist eine étale Garbe über , die als étale Überdeckung repräsentierbar ist.

Temperierte Überdeckung Sei eine étale Überdeckung und eine (möglicherweise unendliche) topologische Überdeckung, wobei eine endliche étale Überdeckung ist. Dann heißt temperiert, wenn sie ein Quotient der zusammengesetzten étalen Überdeckung ist.

In andere Worten, es gibt eine Äquivalenzrelation mit .

Kategorie der temperierten Überdeckungen Im archimedischen Fall stimmen die Kategorien der topologischen Überdeckungen und der étalen Überdeckungen überein. Im nichtarchimedischen Fall unterscheiden sie sich dagegen wesentlich, so erfasst die Kategorie der topologischen Überdeckungen nicht alle Überdeckungen, während die Kategorie der étalen Überdeckungen auch Überdeckungen umfasst, die keine entsprechende topologische Struktur besitzen. Die temperierten Überdeckungen bilden eine Zwischenkategorie im nichtarchimedischen Fall . Im archimedischen Fall fallen alle drei Kategorien zusammen.

Sei die Kategorie der temperierten Überdeckungen von . Die Objekte dieser Kategorie sind temperierte Überdeckungen , und ihre Morphismen sind Morphismen über .

Die Kategorie ist abgeschlossen unter der Bildung von Zusammenhangskomponenten und Faserprodukten über . Sie ist per Definition auch unter der Bildung von Quotienten abgeschlossen.

Temperierte Fundamentalgruppe Sei ein -analytischer Raum und ein geometrischer Punkt von . Für eine étale Überdeckung bezeichnet die Faser von über .

Der Faserfunktor bildet jede temperierte Überdeckung auf ihre Faser über ab.

Die temperierte Fundamentalgruppe von bezüglich des geometrischen Basispunkts ist definiert als

Dabei bezeichnet

die Gruppe der natürlichen Isomorphismen von in sich selbst. Ein solcher natürlicher Isomorphismus besteht aus einer Familie von Bijektionen , jeweils für eine temperierte Überdeckung , die mit allen Morphismen zwischen den temperierten Überdeckungen verträglich ist.

Eigenschaften Die temperierte Fundamentalgruppe hängt bis auf Isomorphie nicht von der Wahl des geometrischen Basispunkts ab. Der Isomorphismus ist dabei bis auf Komposition mit einem inneren Automorphismus eindeutig.

ist eine separierte topologische Gruppe. Sei der Stabilisator des Punktes in der Faser von über . Die natürliche Abbildung

ist ein Homöomorphismus.

Geometrische temperierte Fundamentalgruppe Ist ein algebraischer Abschluss von und dessen Vervollständigung, so entsteht die geometrische temperierte Fundamentalgruppe durch Basiswechsel zu . Genauer ist

die geometrische temperierte Fundamentalgruppe von bezüglich eines geometrischen Basispunkt .

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Algebraische Geometrie