Probleme mathematisch lösen

Probleme mathematisch lösen (auch mathematisches Problemlösen) bezeichnet in der Mathematikdidaktik die Fähigkeit, mathematische Aufgaben zu bewältigen, für die ein Lösungsverfahren nicht offensichtlich ist und deshalb ein strategisches Vorgehen notwendig ist. In den Bildungsstandards für das Fach Mathematik der Kultusministerkonferenz ist das Problemlösen als eigenständige prozessbezogene Kompetenz aufgeführt.Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Ersten Schulabschluss und den Mittleren Schulabschluss. Beschluss vom 23. Juni 2022.

Begriff Während der umgangssprachliche Gebrauch des Wortes „Problem“ nahezu alles bezeichnet, was als schwierig erlebt wird, ist die fachdidaktische Verwendung eingegrenzt. Ein Problem liegt gemäß der aus der Allgemeinen Psychologie übernommenen Definition dann vor, wenn ein unerwünschter Ausgangszustand und ein erwünschter Zielzustand von einer Barriere getrennt werden.Dietrich Dörner: Problemlösen als Informationsverarbeitung. Kohlhammer, Stuttgart 1976. Ob eine konkrete Aufgabe diese Bedingung erfüllt, hängt vom Vorwissen der Person ab, die die Aufgabe bearbeitet. Problemhaftigkeit gilt in der Fachdidaktik daher nicht als Eigenschaft einer Aufgabe, sondern als Relation zwischen Aufgabe und Person zu einem bestimmten Zeitpunkt. Man unterscheidet zwischen objektiven Barrieren, bei denen die zur Lösung erforderlichen mathematischen Inhalte nicht bekannt sind, und subjektiven Barrieren, bei denen die bearbeitende Person zwar über die entsprechenden Kenntnisse verfügt, aber nicht weiß, wie sie diese einsetzen soll.Andreas Filler: Problemlösen im Mathematikunterricht. Vorlesungsnotizen, Humboldt-Universität zu Berlin 2019, S. 2.

Abgrenzung zur Routineaufgabe Bei einer Routineaufgabe kann ein erlerntes Verfahren direkt angewendet werden. Die Bearbeitung besteht im Wesentlichen in dessen korrekter Ausführung. Bei Problemen muss das Verfahren erst gefunden werden. Die Abgrenzung wird dabei nicht als Dichotomie, sondern als Kontinuum beschrieben. Eine scharfe Grenze zwischen beiden Aufgabentypen gibt es demnach nicht.

Subjektivität des Problembegriffs Eine Aufgabe kann ein Problem bereitstellen, jedoch nicht garantieren, dass dieses auch zum Tragen kommt, da dies vom Vorwissen der Lerngruppe abhängt. Zudem verliert eine Aufgabe ihren Problemcharakter, sobald das zugehörige Vorgehen internalisiert wurde.

Curriculare Verankerung

Bildungsstandards und Fachanforderungen In den Bildungsstandards für das Fach Mathematik für den Ersten Schulabschluss (ESA und den Mittleren Schulabschluss (MSA) (2022) ist „Probleme mathematisch lösen“ als dritte von sieben prozessbezogenen Kompetenzen verankert. Diese Kompetenz umfasst „ausgehend vom Erkennen und Formulieren mathematischer Probleme, das Auswählen geeigneter Heurismen sowie das Entwickeln und Ausführen geeigneter Lösungswege“ und schließt das „Überprüfen der Plausibilität von Ergebnissen“ sowie das „Reflektieren von Lösungswegen“ ein.

Anders als Algorithmen, die unmittelbar zum Ziel führen, erweisen sich eine Reihe von heuristischen Prinzipien als zielführend. So wird beim Zerlegungsprinzip das Problem in Teilprobleme zerlegt, beim Analogieprinzip wird auf vorangegangene Lösungen ähnlicher zurückgegriffen, beim Vorwärtsarbeiten untersucht man, was sich aus den gegebenen Daten folgern lässt und beim Rückwärtsarbeiten wird untersucht, was benötigt wird, um das Gesuchte zu erhalten. Außerdem gibt es noch das systematische Probieren und das Veranschaulichen durch eine mathematische Figur, eine Tabelle oder eine Skizze.

Die Fachanforderungen Mathematik des Landes Schleswig-Holstein (2014) beziehen sich noch auf die sechs allgemeinen mathematischen Kompetenzen der Standards von 2003 und führen Problemlösen als K2.Ministerium für Schule und Berufsbildung des Landes Schleswig-Holstein: Fachanforderungen Mathematik. Kiel 2014, S. 18.

Anforderungsbereiche Unterschieden werden drei Anforderungsbereiche (AFB):

Reproduzieren (I): Anwenden bekannter Heurismen bei simplen Problemen

Zusammenhänge herstellen (II): Auswählen geeigneter Lösungsstrategien aus einem bekannten Repertoire Überprüfen von Lösungen Verallgemeinern und Reflektieren (III): Lösen schwieriger Probleme Reflektieren von Lösungsideen und Lösungswegen

Die Aufteilung ist dabei nicht als generische Schwierigkeitsskala zu verstehen. Vielmehr unterscheiden sich die Arten der geforderten kognitiven Tätigkeit. Ebenso wenig gibt es scharfe Grenzen zwischen den Bereichen.

Modelle und Konzepte des Problemlöseprozesses

Phasenmodell nach Pólya Ein mögliches Modell zur Beschreibung des Problemlöseprozesses stammt von George Pólya, der in seinem Werk How to Solve It (1945) vier Phasen unterscheidet: understanding the problem, devising a plan, carrying out the plan und looking back.George Pólya: How to Solve It. Princeton University Press, Princeton 1945, S. 5–15.

Pólya beschreibt dabei keine empirisch gewonnene Prozessstruktur, sondern gruppiert Fragen und Empfehlungen, woraus sich die vier Phasen ergeben. Dabei ist der Ablauf nicht streng linear; aus jeder Phase kann in eine vorherige zurückgekehrt werden. Besondere Aufmerksamkeit erfährt die Rückschau. Sie gilt als die am häufigsten ausgelassene und zugleich lernwirksamste Phase, weil erst hier Übertragbarkeit auf andere Aufgaben und allgemeines Strategiewissen entstehen.

Heurismen Als Heurismen werden strukturierte Denkhilfen bezeichnet, die einen Lösungsprozess wahrscheinlicher machen, ohne ihn zu garantieren. Damit können Heurismen helfen, wenn kein Algorithmus, welcher die Lösungsfindung garantiert, bekannt ist.

Unterschieden werden heuristische Hilfsmittel und heuristische Verfahren. Hilfsmittel wie Tabellen, Lösungsgraphen, Skizzen oder strukturierte Wissensspeicher bereiten das Problem auf um zum besseren Verständnis, zur Strukturierung und zur Reduktion der Informationen beizutragen.Heinrich, Bruder, Bauer, Problemlösen lernen, 2015 Heuristische Verfahren hingegen geben ein Vorgehen wie beispielsweise Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, systematisches Probieren oder Analogiebildung vor. Sie lassen sich genauer klassifizieren in allgemeine und spezielle Prinzipien sowie Strategien.

Heurismen lassen sich vier Aspekten eines Konzepts geistiger Beweglichkeit zuordnen: Reduktion (Fokussierung auf das Wesentliche), Reversibilität (Umkehren von Gedankengängen), Aspektbeachtung und Aspektwechsel. Es heißt, mangelnde geistige Beweglichkeit werde „teilweise kompensiert durch bewusstes Erlernen solcher Vorgehensweisen und Techniken, die zu vergleichbaren Ergebnissen führen wie unbewusste Denkabläufe bei ausgeprägter geistiger Beweglichkeit“.Regina Bruder: Problemlösen lernen im Mathematikunterricht – aber wie? Vortrag, Heilbronn, 26. März 2011, Folie 30. Heurismen helfen also beim Vorgehen. Inhaltliches Wissen ersetzen sie allerdings nicht.

Vier-Faktoren-Modell nach Schoenfeld Alan H. Schoenfeld beobachtete in empirischen Untersuchungen, dass Lernende zum Teil trotz passender Heurismen nicht zur Lösung des Problems kamen. Er kam also zu dem Schluss, dass Heurismen allein nicht ausreichen, um ein Problem zu lösen. Folglich benannte er 1985 vier Faktoren, die zusammenwirken müssen:Alan H. Schoenfeld: Mathematical Problem Solving. Academic Press, Orlando 1985, S. 11–44. resources als deklaratives und prozedurales Fachwissen, heuristics als Strategien und Techniken, control als Metakognition wie Planen, Überwachen und Umsteuern des eigenen Vorgehens, sowie beliefs als Überzeugungen. Der Vergleich von Expertinnen und Experten mit Novizinnen und Novizen zeigt, dass Letztere an einem einmal gewählten Ansatz festhalten, während Erstere Sackgassen früh erkennen. Der Unterschied liegt also nicht im Wissen, sondern in dessen Anwendung.

Vermittlung im Unterricht

Systematischer Aufbau von Heurismen In der Mathematikdidaktik ist man sich weitgehend einig darüber, dass Problemlösekompetenz nicht durch das bloße Bearbeiten schwieriger Aufgaben entsteht. Stattdessen ist das Zusammenspiel mehrerer, sich ergänzender Maßnahmen erforderlich. Häufig genannt werden das explizite Lehren heuristischer Vorgehensweisen, die Reflexion der eigenen Problemlösetätigkeit, das Lehren metakognitiver Strategien sowie das Lernen durch Nachahmen von Expertinnen und Experten.

Ein verbreitetes Unterrichtskonzept gliedert das Etablieren von Heurismen in fünf Phasen:R. Bruder, (2011). Problemlösen lernen im Mathematikunterricht – aber wie? [Vortrag]. Heilbronn, 26. März 2011. Technische Universität Darmstadt, Folie 33; ausführlich Bruder, R. & Collet, C., 2011.

Gewöhnen: Heurismus wird zunächst implizit genutzt und im Anschluss reflektiert; Bewusstmachen: Heurismus wird an einem markanten Beispiel verdeutlicht; Übungsphasen: Anwendung des Heurismus wird geübt; Kontexterweiterung: Verallgemeinerung Erweiterung des eigenen Problemlösemodells: Festhalten und vernetzen der bekannten Heurismen

Um das Verständnis zu sichern, sollten neben der korrekten Lösung auch immer Erklärungen und Begründungen zum Weg eingefordert werden. Zudem kann ein Strategieplakat im Klassenzimmer angebracht werden, welches die SuS regelmäßig erweitern.

Aufgabenkultur und Impulssteuerung Die didaktische Aufgabe von Lehrkräften liegt im bewussten Wechsel zwischen Routine- und Problemlöseaufgaben. Bei Schwierigkeiten sollte es gestufte Hilfen geben. Statt Antworten vorwegzugreifen, können Lehrkräfte leitende Fragen stellen, damit die Lernenden unter dem Stichwort des entdeckenden Lernens selbst auf den Lösungsweg und anschließend zur Lösung kommen. Ebenfalls förderlich ist eine verlängerte Wartezeit nach dem Stellen einer Frage, da die Lernenden im Problemlöseprozess mehr Zeit benötigen als bei dem Lösen von Routineaufgaben. Außerdem muss ein akzeptierendes Unterrichtsklima hergestellt werden, in welchem auf ein konstruktives Verhältnis zu Fehlern geachtet wird. Metakognition kann die Lehrkraft beispielsweise durch Reflexionsphasen, Lösungswegvergleiche und Strategiejournale ritualisieren.

Natürliche Differenzierung und Inklusion Das Konzept der natürlichen Differenzierung beschreiben Wittmann und Müller als „eine Differenzierung vom Kind aus […]: Die gesamte Lerngruppe erhält einen Arbeitsauftrag, der den Kindern Wahlmöglichkeiten bietet“.Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller: Das Zahlenbuch 1/2. Lehrerband. Klett, Leipzig 2004, S. 15; zitiert nach Bruder/Linneweber-Lammerskitten/Reibold 2015, S. 524. Damit arbeiten alle Lernenden am selben Lerngegenstand und jeder kann selbst entscheiden, wie er oder sie vorgeht. Die unterschiedlichen Zugänge lassen sich im Unterrichtsgespräch konstruktiv auswerten und aufeinander beziehen.

Der Zusammenhang mit dem Problemlösen ergibt sich aus der Aufgabenstruktur: Problemlöseaufgaben besitzen keinen vorgegebenen Lösungsweg und differenzieren von Natur aus. Diese Differenzierung erfolgt nicht durch die Lehrkraft, sondern durch die Lernenden selbst in der Wahl von Strategie, Darstellung und Abstraktionsgrad.

Allerdings bleiben die unterschiedlichen Zugänge ohne moderierte Auswertung unverbunden nebeneinander stehen und ohne Sicherung eines Mindestniveaus können sich Leistungsunterschiede vergrößern. Ob es gelingt, dass alle Leistungsgruppen entsprechend ihren Möglichkeiten profitieren, gilt in der Fachdidaktik weiterhin als offene Frage.Regina Bruder, Helmut Linneweber-Lammerskitten, Julia Reibold: Individualisieren und differenzieren. In: Regina Bruder u. a. (Hrsg.): Handbuch der Mathematikdidaktik. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2015, S. 524 und S. 530.

Literatur Regina Bruder, Christina Collet: Problemlösen lernen im Mathematikunterricht. Cornelsen Scriptor, Berlin 2011. Regina Bruder, Helmut Linneweber-Lammerskitten, Julia Reibold: Individualisieren und differenzieren. In: Regina Bruder u. a. (Hrsg.): Handbuch der Mathematikdidaktik. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2015, S. 513–536.