Der Primzahlsatz () ist einer der grundlegenden Lehrsätze des mathematischen Gebiets der analytischen Zahlentheorie. Er behandelt die Frage der Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen und gibt auf diesem Wege Aufschluss über das asymptotische Verhalten der sogenannten Primzahlfunktion, indem er deren Zusammenhang mit der natürlichen Logarithmusfunktion darstellt. Dieser Zusammenhang wurde bereits im Jahre 1793 von Carl Friedrich GaußGauß war damals erst 15-jährig! und – unabhängig von Gauß – auch von Adrien-Marie Legendre im Jahre 1798 vermutet. Streng bewiesen wurde diese Vermutung indes erst im Jahre 1896, und zwar – unabhängig voneinander und nahezu zeitgleich – von Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin.
Die Primzahlfunktion Im Folgenden sei die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen definiert ist als die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als sind:
Dabei bezeichnet das Symbol die Menge der Primzahlen, die Schreibweise steht für die Anzahl der Elemente der Menge .
Der Primzahlsatz Der Primzahlsatz besagt: ist der natürliche Logarithmus.
Andere Formulierungen Nennt man zwei reelle Funktionen und asymptotisch äquivalent, wenn der Quotient für gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren: Die Funktionen und sind asymptotisch äquivalent.In geschriebener Form: .
Der Primzahlsatz ist (im Wesentlichen) damit gleichwertig, dass die komplexe Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit hat.
Gleichwertig mit ihm ist auch die Aussage, dass für die Tschebyscheffsche Psi-Funktion die Grenzwertbeziehung
gilt.
Darüber hinaus ist er, wie Edmund Landau in den Jahren 1899 und 1911 – und zwar ohne Verwendung funktionentheoretischer Hilfsmittel! – zeigte, auch gleichwertig mit einer Reihenkonvergenzaussage, welche die Möbiusfunktion einbezieht:Karl Prachar: Primzahlverteilung. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 91), 1978, S. 73, S. 410
Es gibt eine Anzahl unterschiedlicher Beweise. Ein „einfacher Beweis“, der die Abschätzung der Zetafunktion im Unendlichen nach Hadamard und La Vallée Poussin vermeidet, wurde von Donald Newman gegeben.Donald J. Newman: Analytic Number Theory. Springer, 1998. Newman: Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem. In: American Mathematical Monthly, Band 87, 1980, S. 693–696.Zu Newmans Beweis siehe auch: J. Korevaar: On Newman’s quick way to the prime number theorem. In: Mathematical Intelligencer, Band 4, 1982, Nr. 3. Don Zagier: Newman’s Short Proof of the Prime Number Theorem. In: American Mathematical Monthly, Band 104, 1997, S. 705–708. Der Beweis ist auch dargestellt in Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. Springer, 2008. Newman: Analytic Number Theory. Springer, 1998. Weiter gibt es Beweise, die ohne Verwendung komplexer Funktionentheorie auskommen, sogenannte „elementare“ Beweise, die zuerst 1948/49 von Paul Erdős und Atle Selberg erbracht wurden.G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 206–222 Ein dritter Beweisansatz innerhalb der analytischen Zahlentheorie benutzt die Taubersätze von Wiener-Ikehara, vermeidet auch die Abschätzung im Unendlichen, benutzt aber tieferliegende Ergebnisse aus der Theorie der Fourier-Transformation.
Stärkere Formen des Primzahlsatzes mini|hochkant=1.5|Darstellung von (rot), x/ln(x) (grün) und Li(x) (blau) Bessere Approximationen als liefert der Integrallogarithmus:
Die Integraldarstellung für wird gewählt, weil die Stammfunktionen von nicht elementar sind.
Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu also auch zu
Man kann zeigen:Arnold Walfisz: Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1963, S. 187. Der Beweis bei Walfisz stammt von Hans-Egon Richert. Derbyshire, Prime Obsession, Joseph Henry Press 2003, S. 244, bezeichnet das als die beste ihm bekannte Abschätzung des Fehlerterms.
mit einer positiven Konstanten . Dabei ist ein Landau-Symbol, d. h., es gibt eine Konstante , sodass
für alle gilt. Die Verbesserung des Fehlerterms hängt davon ab zu zeigen, dass die Zetafunktion in immer größeren Bereichen im kritischen Streifen nullstellenfrei ist. Unter Annahme der riemannschen Vermutung (nach der alle nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden liegen), und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu
verbessern (Helge von Koch 1901). Unter Annahme der riemannschen Vermutung (!) gab im Jahre 1976 Lowell Schoenfeld eine nicht-asymptotische Schranke:L. Schoenfeld: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x). II. Mathematics of Computation. Band 30, 1976, S. 337–360.
Zuvor schon hatten im Jahre 1962 John Barkley Rosser und Schoenfeld die für natürliche Zahlen gültige Ungleichung
geliefert, aus der sich der Primzahlsatz unmittelbar ergibt.J. B. Rosser, L. Schoenfeld: Approximate formulas for some functions of prime numbers. In: Illinois J. Math. Band 6, 1962, S. 64–94.Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. S. 163.
Geschichte Adrien-Marie Legendre veröffentlichte 1798 als erster in seiner Théorie des nombres (Abhandlung über Zahlentheorie) unabhängig von GaußDieser hatte sich 1792 oder 1793 mit dem Thema beschäftigt. Siehe dazu den Brief aus dem Jahr 1849 an Johann Franz Encke (). Dort diskutiert er auch die Konstante von Legendre und den Integrallogarithmus. den vermuteten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen. In der zweiten Auflage dieses Werks 1808 verbesserte er die Abschätzung von zu ungefähr gleichAdrien-Marie Legendre: D’une loi très-remarquable observée dans l’énumération des nombres premiers. In: Théorie des nombres. 3. Auflage. Didot, Paris 1830, Band 2, S. 65–70, .
(wo dieser Wert 1,08366 verantwortlich für das Problem der Existenz der Legendre-Konstanten ist). Ein erster Schritt hin zu einem Beweis gelang Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, der 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes zeigte:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschew: Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. In: Mémoires présentés à l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg par divers savants, 6, 1851, S. 141–157. Auch in: Journal de mathématiques pures et appliquées, 1. F., 17, 1852, S. 341–365. Nachdruck in Andrej Andrejewitsch Markoff, Nikolai Jakowlewitsch Sonin (Hrsg.): Œuvres de P. L. Tchebychef. Band 1. Akademie, St. Petersburg 1898, S. 27–48, .Einen deutlich vereinfachten Beweis für eine schwächere Abschätzung gibt Don Zagier, Die ersten 50 Millionen Primzahlen, Elemente der Mathematik (Beihefte zur Zeitschrift), Band 15 (1977), S. 15 f., doi:10.5169/seals-10209 (frei zugänglich).
für alle hinreichend großen . Das heißt, dass die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe um nicht mehr als ungefähr 10 % nach oben oder unten von der logarithmischen Funktion abweicht.
Der englische Mathematiker James Joseph Sylvester, damals Professor an der amerikanischen Johns Hopkins University in Baltimore, verfeinerte 1892 Tschebyschows Methode und zeigte, dass für die Ungleichung bei hinreichend großem die untere Grenze 0,95695 und die obere Grenze 1,04423 genügt,James Joseph Sylvester: On arithmetical series. In: Messenger of Mathematics. 21, 1892, S. 1–19, 87–120. Nachdruck in Henry Frederick Baker (Hrsg.): The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester. 4 Bände. University Press, Cambridge 1904–1912, Band 4. 1912, S. 687–731, . die Abweichung also maximal nur mehr ungefähr 5 % beträgt.
In seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859) hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion gezeigt.Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, S. 671–680. Vgl. auch Wilhelm Scheibner: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer beliebigen Grenze. In: Archiv der Mathematik und Physik. 5, 1860, S. 233–252. Der deutsche Mathematiker Hans von Mangoldt bewies 1895 das Hauptresultat der Riemannschen Arbeit, dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil 1 hat.Hans von Mangoldt: Zu Riemanns Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 114, 1895, S. 255–305. Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen.Jacques Hadamard: Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques. (PDF; 1,3 MB). In: Bulletin de la Société Mathématique de France. 24, 1896, S. 199–220.Charles de La Vallée Poussin: Recherches analytiques de la théorie des nombres premiers. In: Annales de la Société Scientifique de Bruxelles 20 B (1896), S. 183–256, 281–352, 363–397; 21 B (1897), S. 351–368.Kürzere Versionen der Beweise von Hadamard, De la Vallée-Poussin sind in E. C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Clarendon Press, 1951, 1986, Kapitel 3. Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht „elementar“, sondern verwenden funktionentheoretische Methoden und insbesondere die komplexe riemannsche Zetafunktion.
Lange Jahre galt ein elementarerManche Autoren – etwa G. J. O. Jameson in seiner Monographie The Prime Number Theorem (Cambridge University Press, Cambridge 2004, S. 206) – betonen an dieser Stelle, dass „elementar“ keinesfalls im Sinne von „einfach“ verstanden werden sollte. Beweis des Primzahlsatzes als sehr unwahrscheinlich. Diese Auffassung wurde insbesondere von Godfrey Harold Hardy vertreten.Von Hardy gibt es eine entsprechende Bemerkung aus dem Jahre 1921: (Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg 2000, S. 320). Sie wurde indes im Jahre 1949 durch die von Atle Selberg und Paul Erdős vorgelegten Beweise widerlegt.Atle Selberg: An elementary proof of the prime-number theorem. In: Annals of Mathematics. 50, 1949, Nr. 2, S. 305–313.Paul Erdős: On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem. (PDF; 687 kB). In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 35, 1949, S. 374–384.Der elementare Beweis nach Erdös und Selberg, der auf einer 1948 von Selberg gefundenen Formel beruht, wird in modifizierter Form auch in Hardy&Wright, Introduction to the Theory of Numbers, Oxford 1975, und auch bei Jameson, The Prime Number Theorem, Cambridge 2004, S. 206 ff., präsentiert. Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.
Zahlenbeispiele Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte der Primzahlfunktion im Vergleich mit den Logarithmen, Legendres Formel und dem Integrallogarithmus.Die Werte für π(x) sind aus Der Wert für π(1026) ist aus Der Wert für π(1027) ist von