Die hermiteschen Yang-Mills-Gleichungen (kurz HYM-Gleichungen) sind in den mathematischen Teilgebieten der Eichtheorie und komplexen Geometrie nichtlineare partielle Differentialgleichungen für einen hermiteschen Zusammenhang auf einem hermiteschen Vektorbündel über einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit. Dabei gibt es zwei Betrachtungsweisen, zum einen die in der Eichtheorie bevorzugte als Gleichung für den Zusammenhang bei fester Metrik oder die in der komplexen Geometrie bevorzugte als Gleichung für die Metrik bei festem Zusammenhang. Letzteres ergibt sich insbesondere bei der Verwendung eines holomorphen Vektorbündels, welches eine kanonische hermitesche Metrik und einen kanonischen hermiteschen Zusammenhang hat, nämlich den Chern-Zusammenhang.
Eine Motivation der hermitischen Yang-Mills-Gleichungen stammt in diesem Fall von den Einstein-Metriken: Bei den Einstein-Metriken wird untersucht, wann die Ricci-Krümmung des (eindeutigen) Levi-Civita-Zusammenhangs auf dem Tangentialbündel proportional zur Metrik selbst ist. Bei den hermiteschen Yang-Mills-Gleichungen wird untersucht, wann die Ricci-Krümmung des (eindeutigen) Chern-Zusammenhangs auf dem hermiteschen Vektorbündels dies ist. Eine Verbindung besteht dabei, wenn das holomorphe Tangentialbündel mit der von der Kähler-Struktur induzierten hermiteschen Metrik verwendet wird, da der Chern-Zusammenhang dann genau der Levi-Civita-Zusammenhang ist.
Lösungen der hermiteschen Yang-Mills-Gleichungen werden jeweils Hermite-Einstein-Zusammenhänge und Hermite-Einstein-Metriken benannt. Bei dieser Benennung ist Vorsicht notwendig, da es Einstein-Metriken gibt, deren Levi-Civita-Zusammenhänge keine Hermite-Einstein-Zusammenhänge sind. Mit der Kobayashi-Hitchin-Korrespondenz wird eine Äquivalenz zwischen der Polystabilität holomorpher Vektorbündel und der Existenz von Hermite-Einstein-Metriken auf ihnen hergestellt.
Formulierung Sei eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit, also insbesondere ausgestattet mit einer Riemannschen Metrik , symplektischen Form und fast komplexer Struktur . Sei ein hermitesches Vektorbündel, also insbesondere ausgestattet mit einer hermiteschen Metrik . Sei ein Zusammenhang mit Krümmungsform , dann sind die hermiteschen Yang-Mills-Gleichungen gegeben durch:Huybrechts 04, Definition 4.B.1
ist eine Konstante, die explizit bestimmt werden kann: Der Kontraktionsoperator ist adjungiert zum Lefschetz-Operator und misst bei 2-Formen (wie etwa der Krümmungsform) deren Komponente in Richtung der symplektischen Form , explizit ist . Weiter können die hermiteschen Yang-Mills-Gleichungen eingesetzt und die Spur angewendet werden, woraus folgt:Huybrechts 04, Gleichung (4.9)
, wobei die imaginären Koeffizienten vom hermiteschen Endomorphismus oder alternativ der unitären Lie-Algebra kommen, repräsentiert dabei wegen eine de Rham-Kohomologieklasse , welche gemäß Chern-Weil-Theorie auch von der ersten Chern-Klasse kommt. Mit dem Grad des hermiteschen Vektorbündels ergibt sich:
Mit dem Slope Huybrechts 04, Definition 4.B.3 ergibt sich:
Der Slope ist für die Untersuchung der Stabilität zentral und stellt dadurch die Verbindung zur Kobayashi-Hitchin-Korrespondenz her.
Siehe auch
Deformierte hermitesche Yang-Mills-Gleichungen
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Komplexe Geometrie