mini|Lösung des klassischen Obstgartenproblems: eine Anordnung von neun Punkten, bei der auf zehn Geraden jeweils drei Punkte liegen
Als Obstgarten-Problem (englisch orchard problem) wird in der Mathematik die folgende Fragestellung bezeichnet: Wie können neun Obstbäume so angeordnet werden, dass sich zehn Sichtachsen mit jeweils drei Bäumen ergeben? Das allgemeinere Problem, wie Punkte in der Ebene so angeordnet werden können, dass möglichst viele Geraden mit jeweils Punkten darauf existieren, beschäftigt Mathematiker bis heute.
Obstgarten-Folge Die Folge ist wie folgt definiert: Für ist die maximale Anzahl von Geraden, für welche eine Konfiguration von Punkten in der Ebene so existiert, dass Geraden eingezeichnet werden können, von denen jede durch exakt drei der Punkte verläuft. Die ersten Glieder der Folge sind wie folgt: n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 4 6 7 10 12 16 19 22 26 Diese Folge wird als aufgeführt.
Obere und untere Schranken mini|Optimale Anordnungen für zwischen 3 und 11.http://mathworld.wolfram.com/Orchard-PlantingProblem.htmlhttp://blog.wolfram.com/2018/02/02/cultivating-new-solutions-for-the-orchard-planting-problem Eine einfache obere Schranke für ergibt sich aus der Anzahl von Geraden, die überhaupt zwischen Punkten verlaufen können. Es gibt Paare von Punkten und somit höchstens Geraden, die zwischen jeweils mindestens zwei Punkten verlaufen. Falls nun jede Gerade durch mindestens drei Punkte verläuft, entsprechen damit jeweils Paare von Punkten der gleichen Geraden. In diesem Fall kann die Anzahl an Geraden also höchstens betragen.
Untere Schranken an lassen sich angeben, indem man systematisch Mengen von Punkten konstruiert, die eine hohe Anzahl von Geraden durch Tripel von Punkten zulassen. Die erste Konstruktion dieser Art stammt von James Joseph Sylvester und führt auf eine untere Schranke . Dies wurde 1974 durch Burr, Grünbaum und Sloane unter Verwendung einer auf der Weierstraßschen ℘-Funktion basierenden Konstruktion bis auf verbessert. Es existiert auch eine elementare Konstruktion auf Grundlage von Hypozykloiden.
2013 wurde durch Ben Green und Terence Tao bewiesen, dass für alle hinreichend großen höchstens Geraden durch jeweils drei Punkte existieren. Da dies der von Burr, Grünbaum und Sloane hergeleiteten unteren Schranke entspricht, ist eine genaue Formel für für hinreichend große gefunden.
Einzelnachweise
Kategorie:Geometrie