Der Satz von Szegő (nach Gábor Szegő) besagt, dass in Raum der stetigen Funktionen mit Supremumsnorm eine Näherungsformel für das Integral einer Funktion genau dann dagegen konvergiert, wenn sie es für alle Polynome auf dem Intervall tut. Nicht zu verwechseln mit Szegős Grenzwertsätzen zu Toeplitz-Determinanten reellwertiger Funktionen.
Satz Gegeben ist eine Folge von Quadraturformeln durch
für mit für festes paarweise verschiedenen Zwischenstellen und ausdrücklich gewählten komplexen Koeffizienten . Dann gilt für alle genau dann, wenn für alle Polynome auf gilt und .
Anwendungen Man kann prüfen, dass die Simpsonregel und die Sehnentrapezformel (bekannte numerische Näherungen des Integrals) mit zunehmend feinerer Unterteilung gegen das (analytische) Integral der Funktion konvergieren.
Varianten Der Satz von Szegő gilt auch für eine Verallgemeinerung von auf .
Satz von Steklov Verlangt man für die Koeffizienten im Satz von Szegő, dass sie alle reellwertig und nicht-negativ sind, kann auf die Bedingung verzichtet werden.
Literatur
Siehe auch Grenzwertsätze von Szegő
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Mathematik)