Die Zahl (in Worten: dreihundertdreiundfünfzig) ist die kleinste natürliche Zahl, deren vierte Potenz als Summe von vier anderen natürlichzahligen vierten Potenzen darstellbar ist. Darüber hinaus ist die 71-te Primzahl.Vgl. und dazu die Primzahlliste von N. J. A. Sloane!
Hintergrund und Einordnung I R. Norrie hat im Jahre 1911 als Erster gezeigt, dass
und damit
gilt.
Damit ist die natürliche Biquadratzahl die kleinste, welche sich aus vier anderen positiven natürlichen Biquadratzahlen summieren lässt.
II Die Frage nach der Gültigkeit derartiger Potenzsummengleichungen ist verwandt mit der Fragestellung, welche dem Großen Satz von Fermat unterliegt. Nach diesem Fermat‘schen Satz ist gewiss, dass die Summe zweier positiver natürlicher Biquadratzahlen keinesfalls selbst eine solche sein kann.
Damit im Zusammenhang steht eine von Leonhard Euler angestellte Vermutung, der zufolge dies in entsprechender Weise auch für dreigliedrige Summen unmöglich sei. Diese Eulersche Vermutung () wurde indes im Jahre 1988 widerlegt.Siehe auch !
III Für mehrgliedrige Summen obiger Art kennt man eine Vielzahl von Resultaten.
So hat man etwa die Gleichungen
sowie .
Überdies gilt der folgende allgemeine Lehrsatz:
Für jede natürliche Zahl gibt es stets eine natürliche Biquadratzahl, welche als Summe von verschiedenen positiven natürlichen Biquadratzahlen darstellbar ist.
Quellen und Literatur
Einzelnachweise
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