In der Mathematik ist ein Coxeter-Komplex ein aus einem Coxeter-System konstruierter Simplizialkomplex, der die Wirkung der Coxeter-Gruppe geometrisch und kombinatorisch darstellt. Die Erzeuger aus wirken dabei als Spiegelungen und zerlegen den zugrunde liegenden Raum in sogenannte Kammern. Der Coxeter-Komplex besteht aus diesen Kammern und ihren gemeinsamen Seiten. Coxeter-Komplexe erlauben die Konstruktion von Gebäuden, in denen sie als Apartments auftreten.
Coxeter-Komplexe sind nach H. S. M. Coxeter benannt.
Konstruktion Für die Konstruktion eines Coxeterkomplexes zu einem Coxertersystem betrachtet man besondere Nebenklassen von Untergruppen von . Eine Untergruppe der Form von , erzeugt von einer Teilmenge , heißt spezielle Untergruppe von . Die Nebenklassen von , für beliebige , heißen spezielle Nebenklassen von .
Die Menge aller speziellen Nebenklassen von bilden mit der umgekehrten Inklusion eine partiell geordnete Menge . Je zwei Elemente von haben eine größte gemeinsame untere Schranke und die Teilmenge aller Elemente kleiner oder gleich eines bestimmten Elementes steht in ordnungserhaltender Bijektion zur Potenzmenge einer endlichen Menge.
Diese Eigenschaften machen zu einem Simplizialkomplex.
Eigenschaften Coxeterkomplexe sind Kammernkomplexe, die topdimensionalen Simplizes sind gerade die kleinsten Nebenklassen und somit von der Form . Diese werden auch Kammern genannt. Die Kammer , wobei das neutrale Element ist, heißt Fundamentalkammer.
Die Dimension des Komplexes hängt vom Rang des Coxetersystems ab und ist durch gegeben.
Durch die Zuordnung erhält man eine Färbung des Komplexes.
wirkt farberhaltend auf durch einfache Linksmultiplikation der Nebenklassen.
Im Coxeterkomplex findet sich auch der Cayley-Graph der Gruppe bzgl. des Erzeugendensystems wieder. Die Knotenmenge entspricht dabei der Kammernmenge und zwei verschiedene Knoten sind durch eine Kante verbunden, wenn die Kammern eine Kodimension 1 Seite gemeinsam haben.
Literatur
Peter Abramenko and Kenneth S. Brown, Buildings, Theory and Applications. Springer, 2008.
Kategorie:Simplizialkomplex Kategorie:Gruppentheorie