Die Ramanujan-Reihe für π ist eine schnell konvergierende Reihe zur Berechnung des Kehrwerts der Kreiszahl . Sie wurde von dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan 1914 zusammen mit weiteren Reihen für veröffentlicht.
Ramanujan leitete seine Reihen für aus der Theorie der Modulgleichungen und elliptischen Funktionen her. In seinem Aufsatz gab er für die Identität nur knappe Hinweise und keinen ausformulierten Beweis. Die Formel gehört zu einer größeren Familie von Reihen, die später zu den Ramanujan-Sato-Reihen verallgemeinert wurden.
Reihenidentität
Für die Kreiszahl gilt die von Ramanujan gefundene Identität
Dabei bezeichnet die Fakultät von . In Ramanujans ursprünglicher Schreibweise erscheint dieselbe Identität in der Form
Konvergenz und Anwendung
Die Reihe konvergiert außerordentlich schnell. Aus dem Verhältnis aufeinanderfolgender Summanden folgt, dass jeder weitere Summand asymptotisch knapp acht zusätzliche korrekte Dezimalstellen liefert. Bereits der Summand für ergibt nach dem Kehrwertbilden die Näherung
Nach 9 Schritten liefert das Verfahren über einen Näherungsbruch mit 80-stelligem Zähler bereits ein Resultat, das auf 70 NachkommastellenBerechnung bei Wolfram Alpha ergibt eine Differenz in der Größenordnung 10−72.Ergebnis der Berechnung auf wolframalpha.com. wähle → „More digits“ mit übereinstimmt:
Zum Vergleich gewinnen klassische Reihen, die auf der Machinschen Formel beruhen, wesentlich weniger Stellen je Summand. Die hohe Konvergenzgeschwindigkeit machte die Ramanujan-Reihe für Berechnungen mit sehr großer Stellenzahl geeignet.
Bill Gosper verwendete diese Identität 1985 zur Berechnung von rund 17 Millionen Dezimalstellen von .
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Srinivasa Ramanujan Kategorie:Folgen und Reihen