Interuniverselle Teichmüller-Theorie (kurz IUT oder IUTT, auch IUTch oder IUTeich) ist in der Mathematik eine Theorie, welche Teichmüller-Theorie auf Zahlenkörper mit einer elliptischen Kurve verallgemeinert. Entwickelt wurde die interuniverselle Teichmüller-Theorie von Shin’ichi Mochizuki im Anschluss an die p-adische Teichmüller-Theorie während der 2000er, wobei nach Abschluss der Arbeit eine vollständige Zusammenfassung von knapp 2000 Seiten aufgeteilt auf vier Paper im August 2012 auf seiner Webseite veröffentlicht wurde. Shinichi Mochizuki behauptet, durch die interuniverselle Teichmüller-Theorie einen Beweis der abc-Vermutung aus der Zahlentheorie sowie der Szpiro-Vermutung (deren modifizierte Version äquivalent zur abc-Vermutung ist) und Vojta-Vermutung aus der Geometrie erarbeitet zu haben, was jedoch immer noch umstritten ist. Neben der Länge der Ausarbeitung stellen zudem die neu eingeführten Formalismen wie etwa Hodge-Theater, Theta-Daten, Theta-Links oder außerirdische Ringstrukturen eine Schwierigkeit für das Verständnis dar. Außerhalb der Theorie haben diese Begriffe bisher keine Verwendung gefunden und gelten daher nicht als etabliert.

Überblick Shin’ichi Mochizuki beschreibt den interuniversellen Aspekt der Theorie als die Verbindung zwischen den verschiedenen mengentheoretischen Universen („relating the distinct set-theoretic universes“) der ring- und schematheoretischen Betrachtungen. Dies manifestiere sich durch die Untersuchung, welche Informationen darüber nur in der abstrakten topologischen Gruppe von deren étaler Fundamentalgruppe, dem Analogon der Fundamentalgruppe topologischer Räume für Schemata, enthalten seien („one can understand various ring/scheme structures by considering only the underlying abstract topological group of some étale fundamental group arising from such a ring/scheme structure“).IUT I, S. 21–22 Eine Verbindung besteht dabei durch die von ihm eingeführten Theta-Links zwischen minimalen Modellen klassischer Schematheorie, welche wiederum durch die von ihm eingeführten Systeme von Frobenioiden eines Hodge-Theaters beschrieben werden. Mittels Verklebungsisomorphismen dieser Systeme jenseits der Schematheorie, also nicht auf zugrundeliegenden Ringhomomorphismen basierend (Schemata sind lokal geringte Räume und daher Garben von Ringen), wird eine Folge an Hodge-Theatern zu einem Frobenius-Bild verklebt. Shin’ichi Mochizuki visualisiert ein solches Frobenius-Bild als Folge an Modellen, welche von Theta-Links miteinander verbunden werden.IUT I, S. 16–17

Leitfaden zu den einzelnen Artikel Die Einleitung von IUT I gibt einen Überblick über die gesamte Theorie. Die dort verwendeten Begriffe und Zusammenhänge werden aber erst in den späteren Abschnitten oder zum Teil erst in den Folgeartikeln IUT II bis IV entwickelt. Auf die Einleitung folgen die technischen Abschnitte §1 und §2, welche zu Beginn eher als technische Referenz gelesen werden sollten. Die eigentliche IUT beginnt in §3 Chains of -Hodge Theaters. Die meisten Definitionen werden in IUT I eingeführt.

IUT II baut auf den in IUT I konstruierten -Hodge-Theatern und -Links auf und befasst sich mit der Kummer-Theorie der étalen Theta-Funkltion. Die Arbeit führt die - und -Links ein, die aus den entsprechenden Theta- bzw. Gaussian-Strukturen der Hodge-Theater hervorgehen. Daraus entwickelt er den Begriff der Multiradialität sowie die Theorie der gaußschen Frobenioide.

In IUT III kommt dann alles zusammen, um die zentralen Resultate der Theorie zu beweisen. Im Mittelpunkt steht das Log-Theta-Gitter, ein zweidimensionales Diagramm von -Hodge-Theatern, aus dem über Log-Links, LGP-Monoide und dem multiradialen Algorithmus Abschätzungen für Log-Volumina gewonnen werden, die in IUT IV schließlich für diophantische Anwendungen verwendet werden.

Inhalt Lokale Zahlenkörper und Bewertungsringe Sei ein Zahlkörper. Eine Bewertung von ist eine nichttriviale Abbildung mit und . Zwei Bewertungen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf induzieren. Eine Bewertung heißt archimedisch, wenn sie das archimedische Axiom erfüllt und sonst nichtarchimedisch.

bezeichnet die Menge der Äquivalenzklassen von Bewertungen von . Es gilt wobei die beiden Teilmengen die archimedischen bzw. nichtarchimedischen Stellen bezeichnen. Für bezeichnet die Vervollständigung von bezüglich der von induzierten Topologie.

Für ein nichtarchimedischer lokaler Zahlenkörper () definiert man seinen Bewertungsring

sowie seine multiplikativen Strukturen ist das multiplikative Monoid der von null verschiedenen Elemente. ist die Einheitengruppe. bzw. ist die Gruppe der Einheitswurzeln bzw. die Gruppe der -ten Einheitswurzeln.

Es gilt

Für ein sei der algebraische Abschluss von und die zugehörige Galoisgruppe. Die Galoisgruppe wirkt natürlich auf den Bewertungsring und seine multiplikativen Strukturen.

Log-Kurven und hyperbolische Orbikurven Mochizuki verwendet die Begriffe der Log-Kurve und der hyperbolischen Orbikurve. Eine algebraische Kurve heißt hyperbolisch, wenn für das Geschlecht und die Anzahl der Spitzen die Gleichung gilt. Eine Garbe von Monoiden ordnet jedem offenen Teilbereich von ein Monoid zu. Für gibt es eine verträgliche Einschränkungsabbildung , die ein Monoid-Homomorphismus ist. Sei ein Schema, wobei hier die Strukturgarbe und nicht den Bewertungsring bezeichnet und die Garbe der invertierbaren regulären Funktionen. Eine Log-Struktur auf besteht aus einer Garbe von Monoiden und einem Monoid-Homomorphismus , wobei mit der Multiplikation als Monoid betrachtet wird und ein Isomorphismus ist. Eine algebraische Kurve mit einer Log-Struktur nennt man eine Log-Kurve. Eine hyperbolische Orbikurve ist wie folgt definiert: Ein generisch schemaartiger algebraischer Stack über ist ein geometrisches Objekt, das sich im Wesentlichen wie ein gewöhnlicher algebraisch-geometrischer Raum verhält. Eine étale Galois-Überdeckung ist eine unverzweigte Überdeckung (étale), auf der eine endliche Galois-Gruppe durch Automorphismen von über wirkt. Dies bedeutet für jeden Punkt und jedes Paar von Punkten , die beide über liegen, gibt es einen solchen Automorphismus, der auf abbildet. Eine hyperbolische Orbikurve über ist ein generisch schemaartiger algebraischer Stack über , der eine endliche étale Galois-Überdeckung besitzt, wobei eine hyperbolische Kurve über einer endlichen Erweiterung von ist.

Frobenioid

Die interuniverselle Teichmüller-Theorie baut auf Mochizukis Theorie der Frobenioide auf. Frobenioide sind eine kategorientheoretische Abstraktion der Strukturen der Divisoren und Geradenbündeln von algebraischen Kurven oder arithmetischen Schemata sowie deren Überdeckungen, wobei die betrachteten Objekte aus endlichen separablen Erweiterungen der jeweiligen Funktionenkörper hervorgehen.

Sie fassen diese verschiedenen Strukturen in einer Kategorie zusammen, deren Objekte und Morphismen die Beziehungen zwischen Divisoren, Geradenbündeln und rationalen Funktionen beschreiben. Die Konstruktion des Frobenioids lässt sich wie folgt zusammenfassen, man startet mit einer Basiskategorie und konstruiert eine Kategorie genannt elementares Frobenioid, in dem man die Morphismen aus um einen Divisor und einen Grad ergänzt, das heißt die neuen Morphismen sind Tupel der Form . Ein Frobenioid ist dann eine Kategorie mit einem Funktor in ein elementares Frobenioid .

Das elementare Frobenioid entsteht genauer aus der Basiskategorie und einer Zuordnung , die jedem Objekt ein Monoid zuweist. Die Elemente dieser Monoide werden als abstrakte Divisoren betrachtet, die formal wie gewöhnliche Divisoren miteinander kombiniert werden können.

Für die Objekte von gilt und für und die Morphismen

Damit wird ein Morphismus formal durch

mit

beschrieben und die Komposition mit

Beispiel eines Frobenioids Wir starten mit einem Funktionenkörper , für den eine Isomorphie gilt, wobei eine algebraische Kurve über dem Grundkörper bezeichnet. Wir betrachten eine endliche Überdeckung von , wobei ebenfalls eine algebraische Kurve über ist.

Als Basiskategorie betrachten wir die Kategorie der endlichen Überdeckungen von . Für dieses Beispiel beschränken wir uns auf eine einzige Überdeckung . Der Überdeckung ordnen wir das Monoid der effektiven Weil-Divisoren auf zu, das heißt

Damit erhalten wir das zugehörige elementare Frobenioid . Das einzige Objekt von ist die Überdeckung . Ein Morphismus von besteht aus drei Komponenten und hat die Form

Dabei ist ein Morphismus in der Basiskategorie, der Divisorenanteil und der Frobeniusgrad des Morphismus.

Sei eine beliebige Kategorie, die mit einer Prä-Frobenioid-Struktur ausgestattet ist, dann ist ein Prä-Frobenioid und wird unter zusätzlichen Annahmen ein Frobenioid. Als Beispiel kann eine Kategorie von geometrischen Objekten über sein, deren Morphismen zusätzlich Divisoren- und Frobeniusdaten tragen. Der einfachste Fall ist und selbsterklärend, deshalb sei . Der Funktor bildet ein Objekt auf das einzige Objekt des elementaren Frobenioids ab . Für einen Morphismus in ist sein Bild ein Morphismus in . Da gilt, hat dieser die Form

wobei der zugehörige Morphismus in der Basiskategorie, der Divisorenanteil und der Frobeniusgrad ist.

Model-Frobenioid Ein Model-Frobenioid ist ein Frobenioid, das aus explizit vorgegebenen Modelldaten konstruiert wird, bestehend aus einer Basiskategorie und einem Divisormonoid-Funktor , sowie zusätzlich einem Monoidfunktor , bei dem jedes Element im Monoid invertierbar ist, zu jedem existiert ein mit . sowie einem Homomorphismus , wobei der Funktor ist, der jedem Monoid seine Grothendieck-Gruppe zuordnet, indem die fehlenden Inversen ergänzt werden der Homomorphismus den in enthaltenen rationalen bzw. meromorphen Funktionen ihre Divisordaten in zuordnet.

Aus diesen Modelldaten wird eine Kategorie konstruiert, deren Objekte Paare sind, wobei und .

Für zwei Objekte und ist die Menge der Morphismen

mit

wobei zusätzlich die folgende Bedingung für den Frobeniusgrad und die Divisordaten gelten muss

Étale Theta-Funktion Eine weitere Theorie, die Mochizuki im Rahmen der IUT verwendet, ist seine Theorie der étalen Theta-Funktion. Im Kern handelt es sich dabei um eine Kohomologieklasse, die aus dem Vergleich zweier kompatibler Systeme von Gruppenwirkungen auf bestimmten Linienbündeln entsteht. Die beiden Wirkungssysteme unterscheiden sich auf jedem Niveau nur durch die Multiplikation mit einer -ten Einheitswurzel. Diese Differenzen sind für die verschiedenen Niveaus miteinander verträglich und bestimmen dadurch die étale Theta-Klasse.

Sei eine endliche Erweiterung von . Um eine Kurve -adisch zu untersuchen und zugleich ihre Reduktion modulo zu betrachten, betrachtet man ein Modell über dem Bewertungsring . Ein solches Modell wird als formales Modell bezeichnet und enthält Informationen über zwei Fasern: die generische Faser über und die spezielle Faser über dem Restklassenkörper , wobei das maximale Ideal von bezeichnet. Sei

ein formales Modell einer stabile Kurve vom Typ . Die Raynaud-generische Faser ist der zu gehörige rigid-analytische Raum über . Dieser entsteht durch den Raynaud-Funktor aus dem formalen Modell .

ist eine glatte elliptische Kurve, während die spezielle Faser von einen einzigen Knoten besitzt. Dieser Knoten sei rational und die spezielle Faser geometrisch irreduzibel. Die Kurve wird mit der natürlichen Log-Struktur versehen.

Man betrachtet für die Kurve mit dieser Log-Struktur die temperierte Fundamentalgruppe (bezüglich eines Basispunktes) und die geometrische temperierte Fundamentalgruppe der Kurve (dies ist die temperierte Fundamentalgruppe der Kurve nach Basiswechsel zur vollständigen p-adischen algebraischen Abschließung).

Sei die Galoisgruppe von , dann gibt es eine exakte Sequenz