Eine Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeit ist in den mathematischen Teilgebieten der Riemannschen Geometrie, symplektischen Geometrie und komplexen Geometrie eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, welche sowohl eine Kähler-Mannigfaltigkeit als auch eine Einstein-Mannigfaltigkeit ist. Kähler-Mannigfaltigkeit bedeutet dabei die Kompatibilität mit einer weiteren symplektischen Struktur sowie einer weiteren komplexen Struktur und Einstein-Mannigfaltigkeit bedeutet eine starke Bedingung an die Ricci-Krümmung. Auf Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten lässt sich diese zur Kähler-Einstein-Gleichung umformulieren. Metriken von Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten werden Kähler-Einstein-Metriken genannt, diese sind also sowohl eine Kähler-Metrik als auch eine Einstein-Metrik.
Eine wichtige Klasse an Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten bilden die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, welche sogar Ricci-flach sind und eine verschwindende erste Chern-Klasse haben. Genau diese ist bei der Untersuchung von kompakten Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten von fundamentaler Bedeutung, da dann entsprechend eine Einteilung in drei Klassen mit jeweils negativer, verschwindender und positiver erster Chern-Klasse möglich ist. Der negative Fall wurde von Thierry Aubin und Shing-Tung Yau gelöst. Der verschwindende Fall, verbunden mit der Calabi-Vermutung, wurde von Shing-Tung Yau durch eine Verbindung zur Monge-Ampère-Gleichung gelöst, was für den Verleih der Fields-Medaille im Jahr 1982 an ihn angeführt wurde. Der positive Fall wurde von Xiuxiong Chen, Simon Donaldson und Song Sun sowie unabhängig von Gang Tian gelöst. Dabei führten Plagiatsvorwürfe der vorderen Gruppe zu einem Prioritätsstreit.
Definition
Kähler-Mannigfaltigkeit Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine Kombination aus einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, symplektischen Mannigfaltigkeit und komplexen Mannigfaltigkeit, sodass alle miteinander kompatibel sind. Konkret ist es eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik , genannt Kähler-Metrik, symplektischen Form und integrierbaren fast-komplexen Struktur , sodass:
für alle Vektorfelder . Dabei sind die Identitäten mit der Symmetrie von , Antisymmetrie von und der Identität voneinander abhängig. Welche angegeben werden hängt ganz von der gewählten der drei Perspektiven ab. Für die Betrachtung von Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten ist dabei die Betrachtung als Riemannsche Mannigfaltigkeit am vorteilhaftesten, da Einstein-Mannigfaltigkeiten nur diese nutzen.
Einstein-Mannigfaltigkeit Eine Einstein-Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Ricci-Krümmung proportional zur Metrik selbst ist. Konkret ist es eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik , genannt Einstein-Metrik, sodass:
mit einer Konstante . In der Physik ist diese Bedingung bekannt als Lambdavakuumfeldgleichung, ein Spezialfall der Einsteinschen Feldgleichungen zur Beschreibung einer Raumzeit im Vakuum mit dunkler Energie, wobei die Lösungen als Lambdavakuumlösungen bezeichnet werden. Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeit Eine Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeit ist die Kombination aus einer Kähler-Mannigfaltigkeit und einer Einstein-Mannigfaltigkeit, also eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit Einstein-Metrik oder umgekehrt eine Einstein-Mannigfaltigkeit mit Kähler-Metrik. Durch die zusätzliche fast komplexe Struktur lässt sich der symmetrische Ricci-Tensor in die antisymmetrische Ricci-Form umwandeln, gegeben durch:
für alle Vektorfelder . Dadurch wird die Bedingung an die Kähler-Einstein-Metrik zur Kähler-Einstein-Gleichung:
Kontroverse
Xiuxiong Chen, Simon Donaldson und Song Sun (in diesem Kontext oft als CDS abgekürzt) veröffentlichten am 19. September 2013 den Bericht On some recent developments in Kähler geometry (Über einige kürzliche Entwicklungen in der Kähler-Geometrie) mit dem Ziel, Fakten zu dokumentieren („document the facts“). Es folgt eine längere Zusammenfassung des zeitlichen Ablaufes der Ankündigung neuer Paper und deren Veröffentlichung sowie Vorlesungen und deren Notizen. Dabei werden teils Ausschnitte von Gang Tian zitiert und unter anderem als bloße Kopie ohne Quellenangabe („blatant copying without attribution“) bezeichnet.
Gang Tian veröffentlichte am 29. November 2013 den Bericht Response to CDS (Antwort zu CDS) und am 2. Dezember 2013 die Erweiterung More comments on CDS (Mehr Kommentare zu CDS). Darin werden die Anschuldigungen unter anderem als Wunschdenken („wishful thinking“) und falsche Spekulationen („false speculations“) bezeichnet. Zu den für die Plagiatsvorwürfe wichtigen Zitationen der jeweiligen Arbeiten untereinander schreibt Gang Tian, schon am 5. April 2013 sowie nachfolgend am 8. April 2013 per Mail an Simon Donaldson geschrieben zu haben, dass sein Paper in einer ihrer Arbeiten nur zu oberflächlich zitiert worden sei, wodurch Anerkennung für seine Beiträge fehle. Umgekehrt würde eines ihrer Paper von ihm jedoch noch vor seinem eigenen zitiert werden, was klar sein Verständnis dafür ausdrücken soll („clearly shows my acknowledgement“), dass deren Beweis zuerst kam.
Siehe auch
Kähler-Metrik mit konstanter Skalarkrümmung, Abschwächung einer Kähler-Einstein-Metrik
Einzelnachweise
Kategorie:Riemannsche Geometrie Kategorie:Symplektische Geometrie Kategorie:Komplexe Geometrie Kategorie:Differentialgeometrie