Eine Kähler-Metrik mit konstanter Skalarkrümmung (kurz cscK-Metriken für englisch constant scalar curvature Kähler) ist in den mathematischen Teilgebieten der Riemannschen Geometrie, symplektischen Geometrie und komplexen Geometrie eine Kähler-Metrik mit konstanter Skalarkrümmung. Wichtig sind diese vor allem als spezieller Fall der Kähler-Einstein-Metriken, da Einstein-Metriken automatisch eine konstante Skalarkrümmung haben. Ein allgemeinerer Fall ist durch die extremalen Kähler-Metriken gegeben, welche sich als kritische Punkte aus dem Calabi-Funktional ergeben und in dessen Gradientenfluss, genannt Calabi-Fluss, untersucht werden.
Positive Skalarkrümmung
Eine wichtige Frage in der Riemannschen Geometrie ist die Existenz von Riemannschen Metriken positiver Skalarkrümmung (kurz psc-Metriken für englisch positive scalar curvature), wobei die zusätzlichen Bedingungen an Kähler-Metriken dabei für Einschränkungen sorgen. In einer komplexen (oder zwei reellen) Dimension(en) ist die Riemannsche Zahlenkugel die einzige Kähler-Mannigfaltigkeit mit positiver Skalarkrümmung. In zwei komplexen (oder vier reellen) Dimensionen lassen sich starke Einschränkungen aus der Seiberg-Witten-Theorie ableiten: Sei eine einfach zusammenhängende orientierte geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeit mit ungerader selbstdualer Betti-Zahl . Erlaubt eine Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung, dann verschwinden alle dessen Seiberg-Witten-Invarianten. Ist symplektisch (was automatisch orientiert impliziert), dann verschwindet die Seiberg-Witten-Invariante der von der symplektischen Form induzierten Spinᶜ-Struktur aber nicht. Aus der Kombination dieser beiden Resultate folgt, dass eine einfach zusammenhängende geschlossene Kähler-4-Mannigfaltigkeit mit ungerader selbstdualer Betti-Zahl keine positive Skalarkrümmung haben kann. In diesem Fall ist eine konstante negative Skalarkrümmung eine schwächere Alternative.
Literatur
Kategorie:Riemannsche Geometrie Kategorie:Symplektische Geometrie Kategorie:Komplexe Geometrie Kategorie:Differentialgeometrie