Der Satz von Narasimhan-Seshadri ist im mathematischen Teilgebiet der komplexen Geometrie eine wichtige Verbindung gemäß der ein holomorphes Vektorbündel über einer kompakten Riemannschen Fläche genau dann stabil ist, wenn es von einer irreduziblen projektiven unitären Darstellung von dessen Fundamentalgruppe kommt. Verschwindet der Grad des holomorphen Vektorbündels, fällt die Projektivität weg und es ist genau dann stabil, wenn es von einer irreduziblen unitären Darstellung kommt. Simon Donaldson beschrieb im Jahr 1983 zudem die dann äquivalente Bedingung, dass es einen flachen unitären Zusammenhang gibt. Benannt ist der Satz von Narasimhan-Seshadri nach M. S. Narasimhan und C. S. Seshadri, welche diesen im Jahr 1965 bewiesen haben.
Eine starke Verallgemeinerung des Satzes von Narasimhan-Seshadri ist über die Vereinigung mit der Eichtheorie durch die Kobayashi-Hitchin-Korrespondenz (oder Satz von Donaldson-Uhlenbeck-Yau) gegeben. In diesem werden stabile holomorphe Vektorbündel über komplexen Mannigfaltigkeiten mit hermiteschen Yang-Mills-Zusammenhängen verbunden.
Beispiele
Ein einfaches Beispiel für den Satz von Narasimhan-Seshadri ist die Riemannsche Zahlenkugel, welche wiederum das einfachste Beispiel einer nicht als offene Teilmenge der komplexen Zahlen darstellbaren Riemannschen Fläche ist. In diesem Fall vereinfachen sich beide äquivalente Bedingungen des Satzes von Narasimhan-Seshadri stark:
Nach dem Satz von Birkhoff-Grothendieck sind alle holomorphen Vektorbündel über der Riemannschen Zahlenkugel holomorph isomorph zu Whitney-Summen von Serre-Twists des tautologischen Geradenbündels , also:
Da die Fundamentalgruppe der Riemannschen Zahlenkugel trivial ist, müssen irreduzible Darstellungen ebenfalls trivial sein.
Literatur
Weblinks
Narasimhan-Seshadi theorem auf nLab
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Komplexe Geometrie