Die Klassifikation von Freedman ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein zentrales Resultat über vierdimensionale topologische Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten). Konkret gibt diese eine vollständige Klassifikation von einfach zusammenhängenden orientierten geschlossenen 4-Mannigfaltigkeiten mit ihrer Schnittform und Kirby-Siebenmann-Invariante. Die Klassifikation von Freedman ist nach Michael Freedman benannt, der diese im Jahr 1982 veröffentlichte, wofür ihm die Fields-Medaille im Jahr 1986 verliehen wurde.

Aussage Jede symmetrische unimodulare Bilinearform ist die Schnittform einer einfach zusammenhängenden orientierten geschlossenen topologischen 4-Mannigfaltigkeit.Gompf & Stipcisz 99, Theorem 1.2.27

Ist die Form gerade (hat nur gerade Einträge auf der Diagonale), dann gibt es bis auf orientierungserhaltenden Homöomorphismus genau eine solche Mannigfaltigkeit. Ist die Form ungerade (hat mindestens einen ungeraden Eintrag auf der Diagonale), dann gibt es bis auf orientierungserhaltenden Homöomorphismus genau zwei solche Mannigfaltigkeiten mit unterschiedlicher binärer Kirby-Siebenmann-Invariante. Daher ist höchstens eine davon glättbar, eventuell auch keine. ( trifft keine Aussage und verbietet Glättbarkeit.)

Folgerungen Direkte Folgerungen aus nur der Existenz sind die der E8-Mannigfaltigkeit und des falschen zweiten komplexen projektiven Raumes . Direkte Folgerungen aus nur der Eindeutigkeit sind:

Zwei einfach zusammenhängende orientierte geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeiten mit isomorphen gerade Schnittformen sind orientierungserhaltend homöomorph. Zwei einfach zusammenhängende orientierte geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeiten mit isomorphen ungeraden Schnittformen und identischen Kirby-Siebenmann-Invarianten sind orientierungserhaltend homöomorph. Sind beide insbesondere glättbar (was impliziert), dann sind beide orientierungserhaltend homöomorph.

mini|Verbundene Summe von Mannigfaltigkeiten

Direkte Folgerungen aus beidem sind:

Teilt sich die Schnittform einer einfach zusammenhängenden orientierten geschlossenen topologischen 4-Mannigfaltigkeit als direkte Summe , dann existieren einfach zusammenhängende orientierte geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeiten und mit jeweiligen Schnittformen und , sodass sich ein orientierungserhaltender Homöomorphismus mit ihrer verbundenen Summe ergibt.Scorpan 05, S. 119 Für eine einfach zusammenhängende orientierte geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeit existiert ein orientierungserhaltender Homöomorphismus:Scorpan 05, S. 238

Das folgt aus der Klassifikation von Serre für die Schnittformen. Verbundene Summen mit und machen die Schnittformen ungerade und eine verbundene Summe mit macht die Schnittform ungerade und indefinit.

Beispiele Zwar haben die Schnittformen von und gleichen Rang und gleiche Signatur , jedoch ist die vordere Form gerade (hat nur gerade Zahlen auf der Diagonale) und die hintere Form ungerade (nicht gerade):Scorpan 05, S. 124

Daher sind die Formen nicht isomorph und es gibt keinen Homöomorphismus . Wird jedoch über eine verbundene Summe mit oder ein oder zur Diagonale hinzugefügt und die Form dadurch ungerade gemacht, lässt sich die Klassifikation von Serre anwenden und durch die Klassifikation von Freedman in Homöomorphismen übersetzen:

Es lässt sich zeigen, dass diese Homöomorphismen sogar Diffeomorphismen sind.

Durch das gleiche Vorgehen lässt sich zudem eine definite Form wie etwa die E8-Form indefinit machen und sich ebenfalls wieder die Klassifikation von Serre anwenden. Da die E8-Mannigfaltigkeit , deren Schnittform die E8-Form ist, jedoch nicht glättbar ist und sogar Kirby-Siebenmann-Invariante hat, muss das bei der Übersetzung in Homöomorphismen durch die Klassifikation von Freedman durch den falschen zweiten komplexen projektiven Raum mit gleicher Kirby-Siebenmann-Invariante kompensiert werden:Scorpan 05, S. 127Scorpan 05, S. 240–244

Alternativ kann die E8-Mannigfaltigkeit sich auch selbst kompensieren, wenn ihre Orientierung umgekehrt wird:

Verbindung mit der topologischen Poincaré-Vermutung Ironischerweise führt der einfachste Fall der Klassifikation von Freedman, nämlich die leere Form, welche trivialerweise symmetrisch, unimodular, bilinear und gerade ist, auf die Lösung des schwierigen Problems der topologischen Poincaré-Vermutung in vier Dimensionen. Vermutet wird von dieser, dass jede geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeit, welche homotopieäquivalent zur 4-Sphäre ist, sogar homöomorph zur 4-Sphäre ist.Scorpan 05, S. 31 Durch die Homotopieäquivalenz übertragen sich die notwendigen Eigenschaften, also ist die geschlossene 4-Mannigfaltigkeit auch einfach zusammenhängend, orientiert und hat leere Schnittform. Dadurch folgt die Poincaré-Vermutung direkt aus der Klassifikation von Freedman.Gompf & Stipsicz 99, Corollary 1.2.28

Verbindung mit dem Satz von Donaldson Die Klassifikation von Freedman kann mit dem (ebenfalls mit einer Fields-Medaille im Jahr 1986 ausgezeichneten) Satz von DonaldsonFreed & Uhlenbeck 84, S. 22–24Gompf & Stipsicz 99, Theorem 1.2.30 verbunden werden, was beide einschränkt: Die Klassifikation von Freedman benötigt eine einfach zusammenhängende und der Satz von Donaldson benötigt eine glatte Mannigfaltigkeit, was beides nicht für das jeweils andere Resultat notwendig ist. (Einfach zusammenhängend war in der ursprünglichen Veröffentlichung des Satzes von Donaldson im Jahr 1983 noch notwendig gewesen, wurde aber mit einer Verbesserung im Jahr 1987 überflüssig.)

Korollar von Donaldson-Freedman: Eine einfach zusammenhängende orientierbare geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeit mit definiter Schnittform ist homöomorph zu wenn positiv definit und homöomorph zu wenn negativ definit.

Beweis: Nach dem Satz von Donaldson ist die Schnittform diagonal, also isomorph zu wenn positiv definit und wenn negativ definit. Nach der Klassifikation von Freedman ist die Mannigfaltigkeit orientierungserhaltend homöomorph zu einer einfach zusammenhängenden orientierten geschlossenen glatten Mannigfaltigkeit gleicher Schnittform, also wenn positiv definit und wenn negativ definit.

Literatur

Weblinks

Freedman classification auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

Kategorie:Differentialtopologie