Lokal beschränkte Funktion

Als lokal beschränkte Funktion wird in der Analysis eine Funktion bezeichnet, die in der Nähe jeder Stelle ihres Definitionsbereichs beschränkt werden kann.

Lokale Beschränktheit wird in verschiedenen Gebieten der Mathematik, z. B. Funktionalanalysis und Numerik, als technische Voraussetzung für einige Beweise verwendet und dient nur zweitrangig der Realisierung einer bereits vorhandenen Intuition, ähnlich wie Semilokal-Einfachzusammenhang in der Topologie.

Definition Sei ein topologischer und ein metrischer Raum sowie eine Abbildung. Dann heißt lokal beschränkt in , wenn eine Umgebung von existiert, sodass eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: es existiert ein , sodass , d. h. in haben die Funktionswerte stets einen Abstand von weniger als zu

das Bild ist eine beschränkte Menge in die Einschränkung ist eine beschränkte Funktion. Ist lokal beschränkt in jedem , heißt insgesamt lokal beschränkt.

Lokale gleichmäßige Beschränktheit Analog zur lokalen Beschränktheit kann man auch lokal gleichmäßig beschränkte Funktionenfamilien definieren: Eine Familie von Funktionen heißt dann lokal gleichmäßig beschränkt in , wenn es eine Umgebung von gibt, sodass auf gleichmäßig beschränkt ist, der Durchmesser also für alle gleichzeitig durch eine Konstante unabhängig von beschränkt werden kann.

Teilweise wird diese Definition ebenfalls einfach als lokale Beschränktheit bezeichnet.

Lokale wesentliche Beschränktheit Ebenfalls erweitern lässt sich das Konzept problemlos auf die wesentliche Beschränktheit. Sei dafür eine Abbildung von einem Maßraum in einen normierten Vektorraum. Jeder normierte Raum ist unter der induzierten Norm stets ein metrischer und damit auch ein topologischer Raum. Während für lokale Beschränktheit zu jedem Punkt eine Umgebung gefunden werden muss, sodass , lässt sich dieselbe Aussage analog für wesentliche Beschränktheit treffen:

heißt lokal wesentlich beschränkt, wenn für (fast) alle eine Umgebung von existiert, sodass

Dabei bezeichnet das wesentliche Supremum. Da dieses stets vom üblichen Supremum beschränkt wird, ist trivialerweise jede lokal beschränkte Funktion lokal wesentlich beschränkt.

Gleichmäßig lokale Beschränktheit Der Begriff lokal beschränkter Funktionen lässt sich verschärfen, indem man fordert, dass das Bild der Funktion zwar nur lokal, aber stets durch dieselbe Größe beschränkt werden kann.

Formal heißt eine Funktion also gleichmäßig lokal beschränkt, wenn es ein gibt, sodass für alle eine Umgebung existiert mit . Analog zur gleichmäßigen Stetigkeit wählen wir also statt für jedes einen eigenen Wert global einen festen, den alle Stellen erfüllen müssen.

Offenbar ist jede gleichmäßig lokal beschränkte Abbildung auch lokal beschränkt.

Eigenschaften Jede beschränkte Funktion ist gleichmäßig lokal beschränkt und damit insbesondere lokal beschränkt, z. B. indem man für jeden Punkt die Umgebung wählt. Jede stetige Funktion ist (gleichmäßig) lokal beschränkt, weil per Definition sogar für jedes und alle eine Umgebung von existiert mit , und es ist . Es gilt sogar: Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn sie gleichmäßig lokal beschränkt zu jedem positiven Durchmesser ist. Ist ein überdeckungskompakter topologischer Raum, dann ist bereits jede lokal beschränkte Abbildung global beschränkt. Dafür betrachte die offene Überdeckung von und wähle eine endliche Teilüberdeckung. Die Rückrichtung gilt ebenfalls für lokalkompakte Räume: Ist lokalkompakt und eine Abbildung, die auf jedem Kompaktum beschränkt ist, dann ist lokal beschränkt. Hat eine Funktion in einem Punkt eine hebbare Unstetigkeitsstelle, dann ist die Funktion in diesem Punkt lokal beschränkt.

Man sieht also, dass die hier eingeführten Begriffe häufig miteinander und mit bereits bekannten zusammenfallen. Beispiele, die stattdessen die unterschiedlichen Eigenschaften motivieren, sind z. B. Nicht jede (gleichmäßig) lokal beschränkte Funktion ist bereits global beschränkt. Dafür siehe zum Beispiel . Hier ist sogar ein (mit derselben Metrik wie im Ziel) beschränkter metrischer Raum. Nicht jede (gleichmäßig) lokal beschränkte Funktion ist stetig. Das sieht man bspw. an jeder Indikatorfunktion einer nicht-leeren, echten Teilmenge eines zusammenhängenden Raums oder auch der Thomae-Funktion. Nicht jede lokal beschränkte Funktion ist gleichmäßig lokal beschränkt:

ist lokal, aber mit keinem Durchmesser gleichmäßig lokal beschränkt. Ist eine Abbildung, die auf jedem Kompaktum beschränkt ist, dann ist nicht automatisch lokal beschränkt. Wie oben gesehen, ist in solchen Fällen aber nicht lokalkompakt.

Quellen

Erläuterungen

Kategorie:Funktionalanalysis