Die Landau-Gonek-Formel (auch Satz von Landau-Gonek) ist ein Resultat aus der analytischen Zahlentheorie über Summen der Form

wobei die Summe über die nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion läuft und eine reelle Zahl ist.

Die Landau-Gonek-Formel verbessert eine 1911 von Edmund Landau veröffentlichten Formel durch bessere Kontrolle des Fehlerterms. Sie wurde 1984 von Steven Gonek veröffentlicht.

Landau-Formel Seien die nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion und die Mangoldt-Funktion.

Edmund Landau bewies 1911 folgendes Resultat Sei fix dann gilt

Erläuterungen Der Hauptterm tritt nur dann auf, wenn eine Primzahlpotenz ist.

Die Landau-Formel gilt für jedes fixe und , jedoch nicht gleichmäßig in . Die Fehlerabschätzung ist nicht uniform, das heißt der Fehlerterm der Ordnung gilt für jedes feste , wobei es eine Konstante mit

gibt.

Landau-Gonek-Formel Gonek bewies 1985 folgende verbesserte Formel: Für und gilt

wobei den Abstand zwischen zur nächstgelegenen Primzahlpotenz für bezeichnet.

Im Gegensatz zur Landau-Formel sind die impliziten Konstanten in den Fehlertermen der Gonek-Formel unabhängig von und .

Mittelwert der Zetafunktion entlang der Nullstellen In derselben Arbeit bewies Gonek unter der Annahme der Riemannschen Vermutung: (unter RH): Für großes und reelles mit gilt

Erläuterungen Der Hauptterm enthält den charakteristischen Sinus-Kern , der zuvor schon in Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung auftaucht und einen Zusammenhang zur Eigenwertstruktur von hermiteschen Zufallsmatrizen macht.

Lässt man solche Matrizen gegen unendliche Dimension wachsen, so konvergiert das zufällige empirische Spektrum der zufälligen Eigenwerte gegen ein deterministisches Grenzmaß. Betrachtet man dabei die Bulk-Region des Spektrums, also den zentralen Bereich und nicht die Randbereiche der extremen Eigenwerte, so erscheint genau dieser Sinus-Kern als universelle n-Punkt-Korrelationsfunktion der Eigenwerte.

Verbesserte Landau-Gonek-Formel von 1993 Aus der Funktionalgleichung der Zetafunktion und der Symmetrie der Nullstellen, das heißt ist auch eine Nullstelle, bewies Gonek 1993 folgende verbesserte Formel Für und gilt

Korollar In derselben Arbeit von 1993 bewies Gonek unter der Annahme der Riemannschen Vermutung folgendes Korollar, welches in ähnlicher Form bei Montgomery vorkommt (unter RH): Sei fest, dann gilt für die Imaginärteile der Nullstellen Riemannschen Zetafunktion .

Einzelnachweise

Kategorie:Analytische Zahlentheorie Kategorie:Satz (Zahlentheorie)