mini|Tangentenfünfeck mit Inkreis
Der Halbperimetersatz ist ein Satz der euklidischen Geometrie, der den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt eines tangentialen Polygons, seinem Halbperimeter und dem Inkreisradius beschreibt. Dabei ist ein tangentiales Polygon ein Polygon, das einen Inkreis besitzt, und der Halbperimeter ist der halbe Umfang des Polygons.
Aussage Sei ein tangentiales Polygon mit Flächeninhalt , Halbperimeter und Inkreisradius gegeben. Dann gilt: .
Äquivalent dazu gilt: .
Beweis Sei ein tangentiales Polygon mit Inkreisradius . Der Abstand des Inkreismittelpunktes zu jeder Seite beträgt .
Das Polygon kann in Dreiecke zerlegt werden, deren Höhen jeweils und deren Grundseiten die Seitenlängen sind: .
Durch Ausklammern von erhält man: .
Da der Halbperimeter definiert ist als ,
folgt: .
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Geometrie) Kategorie:Euklidische Geometrie