Die Albersheim-Gleichung ist eine in der Radartechnik verwendete Näherungsformel zur Bestimmung des erforderlichen Signal-Rausch-Verhältnisses (SNR), das benötigt wird, um bei einem nichtfluktuierenden Ziel eine vorgegebene Entdeckungswahrscheinlichkeit (, ) und eine vorgegebene Fehlalarmrate (, ) zu erreichen.Albersheim, W. J.: Closed-Form Approximation to Robertson's Detection Characteristics, Hughes Aircraft Company, 1968. Die Gleichung wurde von William J. Albersheim entwickelt und wird aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit häufig bei der Auslegung von Radarsystemen verwendet.Richards, Mark A.: Fundamentals of Radar Signal Processing, 2. Auflage, McGraw-Hill, 2014.
Geschichte Vor der Entwicklung der Albersheim-Gleichung wurde das erforderliche SNR für gegebene Werte von und üblicherweise aus numerisch berechneten Detektionskurven oder Tabellenwerken bestimmt. Diese Verfahren basierten auf den Arbeiten von H. P. Robertson zur statistischen Beschreibung von Radardetektoren.Robertson, H. P.: The Computation of Detection Probabilities for Radar Systems, RAND Corporation, 1956.
William J. Albersheim entwickelte Ende der 1960er Jahre eine geschlossene Näherungsformel, die eine schnelle Berechnung des erforderlichen SNR ohne numerische Integration ermöglicht. Die Näherung erwies sich im für praktische Radaranwendungen relevanten Parameterbereich als ausreichend genau und fand breite Verbreitung in Fachliteratur, Lehrbüchern und Radarentwurfswerkzeugen.Albersheim, W. J.: Closed-Form Approximation to Robertson's Detection Characteristics, Hughes Aircraft Company, 1968.
Herleitung Die Albersheim-Gleichung stellt eine empirische Näherung für die numerisch berechneten Detektionscharakteristiken eines optimalen Radar-Detektors dar. Ausgangspunkt sind die von H. P. Robertson berechneten Zusammenhänge zwischen Entdeckungswahrscheinlichkeit , Fehlalarmwahrscheinlichkeit , Anzahl integrierter Pulse und dem erforderlichen Signal-Rausch-Verhältnis.Robertson, H. P.: The Computation of Detection Probabilities for Radar Systems, RAND Corporation, 1956.
Für die exakte Berechnung der Detektionswahrscheinlichkeit müssen statistische Modelle des Empfangssignals ausgewertet werden. Bei einem nichtfluktuierenden Ziel folgt die Teststatistik nach der Detektion einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung, während die Rauschhypothese durch eine zentrale Chi-Quadrat-Verteilung beschrieben wird.Richards, Mark A.: Fundamentals of Radar Signal Processing, 2. Auflage, McGraw-Hill, 2014. Die daraus resultierenden Gleichungen besitzen keine einfache geschlossene Lösung für das erforderliche Signal-Rausch-Verhältnis und werden üblicherweise numerisch ausgewertet.
Albersheim analysierte die von Robertson veröffentlichten Detektionskurven und entwickelte Ende der 1960er Jahre eine geschlossene Näherungsfunktion, die den Zusammenhang zwischen , , und dem erforderlichen SNR mit hoher Genauigkeit beschreibt.Albersheim, W. J.: Closed-Form Approximation to Robertson's Detection Characteristics, Hughes Aircraft Company, 1968. Die Koeffizienten der Gleichung wurden dabei so gewählt, dass die Abweichung gegenüber den numerisch berechneten Referenzwerten im für praktische Radaranwendungen relevanten Parameterbereich gering bleibt.
Die gebräuchlichste Form der Albersheim-Gleichung lautet
mit
und
Hierbei bezeichnet die Entdeckungswahrscheinlichkeit, die Fehlalarmwahrscheinlichkeit und die Anzahl integrierter Pulse.Richards, Mark A.: Fundamentals of Radar Signal Processing, 2. Auflage, McGraw-Hill, 2014.
Die Herleitung beruht somit nicht auf einer direkten analytischen Lösung der zugrunde liegenden Detektionsgleichungen, sondern auf einer parametrisierten Anpassung an numerisch ermittelte Ergebnisse. Spätere Arbeiten zeigten, dass sich die Gleichung algebraisch umformen lässt, um beispielsweise die Anzahl erforderlicher Pulse oder die erreichbare Entdeckungswahrscheinlichkeit direkt zu berechnen. Diese alternativen Darstellungen werden unter anderem in Optimierungsverfahren und adaptiven Radarsteuerungen verwendet.Weinberg, G. V.: Albersheim's Equation: Alternative Forms, Defence Science and Technology Group, Melbourne, 2017.
Anwendungsbereich Die Albersheim-Gleichung wird insbesondere in der frühen Entwurfsphase von Radarsystemen eingesetzt. Sie ermöglicht die Abschätzung des notwendigen SNR, ohne dass vollständige Detektionskurven berechnet werden müssen.Richards, Mark A.: Fundamentals of Radar Signal Processing, 2. Auflage, McGraw-Hill, 2014. Typische Anwendungsgebiete sind:
Da die Gleichung direkt das erforderliche SNR liefert, kann sie mit der Radargleichung kombiniert werden, um beispielsweise erforderliche Sendeleistungen zu bestimmen.Skolnik, Merrill I.: Radar Handbook, 3. Auflage, McGraw-Hill, 2008.
Alternative Formulierungen Im Laufe der Zeit wurden verschiedene äquivalente und umgestellte Darstellungen der Albersheim-Gleichung veröffentlicht. Diese dienen unter anderem dazu, direkt nach der Anzahl erforderlicher Pulse oder nach der erreichbaren Entdeckungswahrscheinlichkeit aufzulösen.Weinberg, G. V.: Albersheim's Equation: Alternative Forms, Defence Science and Technology Group, Melbourne, 2017.
Weinberg veröffentlichte 2017 mehrere analytische Umformungen der Gleichung, die eine direkte Berechnung von , oder ermöglichen. Dadurch kann die Albersheim-Gleichung auch in Optimierungsverfahren eingesetzt werden, bei denen nicht das erforderliche SNR, sondern andere Parameter des Detektionsproblems gesucht werden.Weinberg, G. V.: Albersheim's Equation: Alternative Forms, Defence Science and Technology Group, Melbourne, 2017.
Genauigkeit und Einschränkungen Die Albersheim-Gleichung ist eine empirische Näherung und keine exakte Lösung der Detektionstheorie. Im üblichen Anwendungsbereich weist sie jedoch nur geringe Fehler gegenüber numerisch berechneten Referenzlösungen auf.Albersheim, W. J.: Closed-Form Approximation to Robertson's Detection Characteristics, Hughes Aircraft Company, 1968.
Die Gleichung wurde für nichtfluktuierende Ziele entwickelt. Für Ziele mit schwankendem Radarquerschnitt werden häufig die Näherungen von Shnidman verwendet, welche verschiedene Swerling-Modelle berücksichtigen.Shnidman, D. A.: The Calculation of the Probability of Detection and the Generalized Marcum Q-Function, IEEE Transactions on Information Theory, 1989.
Literatur William J. Albersheim: Closed-Form Approximation to Robertson's Detection Characteristics. Hughes Aircraft Company, 1968. Mark A. Richards: Fundamentals of Radar Signal Processing. 2. Auflage, McGraw-Hill, New York 2014. Merrill I. Skolnik: Radar Handbook. 3. Auflage, McGraw-Hill, New York 2008. Gregory V. Weinberg: Albersheim's Equation: Alternative Forms. Defence Science and Technology Group, Melbourne 2017.
Einzelnachweise
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