Panofsky-Phillips-Gleichungen

In der Elektromagnetik geben die Panofsky-Phillips-Gleichungen, benannt nach Wolfgang Panofsky und Melba Phillips, den Ausdruck des elektrischen Feldes E und des magnetischen Feldes B an, die durch eine beliebige Verteilung elektrischer Ladungen und elektrischer Ströme im Raum erzeugt werden. Es handelt sich um eine zeitabhängige Verallgemeinerung des Coulomb-Gesetzes für das elektrische Feld und des Biot-Savart-Gesetzes für das magnetische Feld. Diese Gleichungen sind die allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen und berücksichtigen insbesondere die Verzögerung, die mit der Ausbreitung der Felder E und B mit endlicher Geschwindigkeit im Raum verbunden ist (diese breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c aus).

Diese Gleichungen erschienen erstmals 1962 in der zweiten Auflage des Buches „Classical Electricity and Magnetism“Wolfgang K. H. Panofsky, Melba Phillips: Classical Electricity and Magnetism. 2. Auflage, Addison-Wesley, 1962, Abschnitt 14.3. von Panofsky und Phillips; es ist anzumerken, dass sie äquivalent zu den Jefimenko-Gleichungen (1966) sind, obwohl sich ihre formalen Ausdrücke für das elektrische Feld unterscheiden<ref name="TheRelationBetweenPP.andJ.">Kirk T. McDonald, The Relation Between Expressions for Time-Dependent Electromagnetic Fields Given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544 (Dec. 5, 1996; updated May 11, 2018)</ref>.

Die Gleichungen Man bezeichnet mit ρ die Ladungsdichte in jedem Punkt eines Volumens V des Raumes und mit J die Stromdichte.

Untersucht man die Felder E und B an einem Punkt M, die durch eine beliebige Verteilung von Ladungen und Strömen im Volumen V erzeugt werden, so ergeben sich mit r als Abstand zwischen jedem Quellpunkt und M sowie n als Einheitsvektor vom Quellpunkt nach M die Panofsky-Phillips-Gleichungen:

mit: , und .

In diesen Gleichungen: ist die Permittivität des Vakuums c ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die zeitliche Ableitung der Stromdichte

Analyse Aus diesen Gleichungen lassen sich vier hauptsächliche Schlussfolgerungen ziehenThe Feynman Lectures on Physics, Mechanics 2, Kapitel 28: Elektromagnetische Strahlung.:

Ausbreitung und Verzögerung Betrachtet man die verschiedenen Quellen des elektromagnetischen Feldes, die in den Panofsky-Phillips-Gleichungen auftreten (ρ, und ), so stellt man fest, dass diese systematisch in eckigen Klammern [ ] geschrieben sind. Dies bedeutet, dass stets ihr Zustand zu einem vergangenen Zeitpunkt, dem sogenannten retardierten Zeitpunkt, , und nicht zum gegenwärtigen Zeitpunkt t betrachtet werden muss.

Dies drückt aus, dass sich das elektrische und das magnetische Feld mit der endlichen Geschwindigkeit c, also mit 299 792 458 m/s, ausbreiten. Es gibt daher immer eine gewisse Verzögerung zwischen einer Änderung der Quellen und den Wirkungen, die diese an einem anderen Punkt des Raumes hervorrufen können. Diese Verzögerung ist gleich der Ausbreitungszeit der Felder zwischen Quelle und Empfänger, also .

Physikalische Interpretation jedes Terms In der Formel für das elektrische Feld E treten drei Terme auf: der erste Term hängt mit der retardierten Position der elektrischen Quellladungen zusammen; man erkennt darin das Coulomb-Gesetz, ausgedrückt zum retardierten Zeitpunkt ; der zweite Term hängt mit der retardierten Geschwindigkeit der Quellladungen zusammen. Er liefert eine Korrektur zum retardierten Coulomb-Feld, indem er die Verzögerungseffekte kompensiert, wenn die Ströme zeitlich konstant sind (). Eine bemerkenswerte Eigenschaft dieses Terms ist, dass er verschwindet, wenn zugleich div(J) = 0 und gilt, das heißt im stationären Regime; der dritte Term wird durch die Beschleunigung der Quellladungen zum retardierten Zeitpunkt verursacht; man kann daher von einem „Beschleunigungsfeld“ sprechen.

Entsprechend erkennt man beim magnetischen Feld B einen ersten Term, der mit der Geschwindigkeit der Quellladungen zusammenhängt, nämlich das retardierte Biot-Savart-Gesetz, sowie einen zweiten Term, der durch ihre Beschleunigung verursacht wird.

Unterscheidung zwischen Nahfeld und Strahlungsfeld Die verschiedenen Terme dieser Felder können in zwei Kategorien getrennt werden: Die einen besitzen einen Abfall in 1/r², also umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung; man kann diese Terme daher als „Nahfelder“ bezeichnen, da sie nur in unmittelbarer Nähe der Quellen bedeutend sind. Die anderen besitzen einen Abfall in 1/r; dabei handelt es sich um die Beschleunigungsfelder, auch „Strahlungsfelder“ genannt, die mit zunehmender Entfernung von den Quellen wegen ihres langsameren Abfalls mit der Entfernung immer dominanter werden.

In Grün stehen die Nahfelder mit einem Abfall in 1/r². In Rot stehen die Strahlungsfelder mit einem Abfall in 1/r.

Man beachte, dass die Felder, die mit der Position und der Geschwindigkeit der Quellladungen zusammenhängen, einen Abfall in 1/r² besitzen, während diejenigen, die mit der Beschleunigung der Quellladungen zusammenhängen, einen Abfall in 1/r besitzen.

In der Fernfeldzone, das heißt für r ≫ λ, kann man die Terme in 1/r² gegenüber den Termen in 1/r als vernachlässigbar betrachten. Dies erlaubt Vereinfachungen bei der Berechnung des elektromagnetischen Feldes; siehe Nahfeld und Fernfeld. In diesem Fall kann sich der Ausdruck der ausgesandten Felder auf Folgendes reduzieren:

wobei nur die Strahlungsfelder beibehalten werden.

In der Nahfeldzone (r ≪ λ) können die Felder unter Verwendung der quasistatischen Näherung berechnet werden. In dieser Zone treten Erscheinungen wie die elektromagnetische Induktion und die Abraham-Lorentz-Kraft auf.

Eigenschaften der Strahlungsfelder Die „Strahlungs“-Terme, die das bilden, was man elektromagnetische Strahlung nennt, werden stets durch zeitliche Änderungen des Stroms erzeugt, das heißt durch beschleunigte Ladungen. Eine elektrische Ladung, die nicht beschleunigt wird, erzeugt daher kein Feld E oder B mit einem Abfall in 1/r.

Außerdem ist die Emission gerichtet, also anisotrop: Die Amplitude der ausgesandten Felder hängt von der Beobachtungsrichtung ab; sie ist auf der Beschleunigungsachse null und maximal in der Ebene senkrecht zur Beschleunigung. Diese Eigenschaft lässt sich insbesondere anhand der von einem schwingenden Dipol ausgesandten Felder veranschaulichen:

mini|hochkant=1.2|Strahlung einer Dipolantenne mini|hochkant=1.2|Richtdiagramm einer Dipolantenne

(Ein solcher schwingender Dipol ist nicht in der Lage, entlang seiner Achse Strahlung auszusenden oder zu detektieren, während die Wirksamkeit dieses Vorgangs in der Äquatorebene maximiert ist.)

Man beachte außerdem, dass diese Terme orthogonal zu n sind. Dies bedeutet, dass sie stets transversal zur Ausbreitungsrichtung der abgestrahlten elektromagnetischen Felder sind, wie unten zu sehen ist:

mini|zentriert|hochkant=1.4|Ausbreitung der Strahlungsfelder im Raum

Die Panofsky-Phillips-Gleichungen zeigen außerdem, dass das abgestrahlte magnetische Feld mit dem abgestrahlten elektrischen Feld durch folgende Beziehung verknüpft ist:

Daher ist in der Fernfeldzone (r ≫ λ) das magnetische Feld mit dem elektrischen Feld verknüpft durch:

Dann gilt: .

Diese Eigenschaften erlauben es beispielsweise, den Ursprung des Strahlungsdrucks zu erklären.

Die Frequenz der Oszillation der Quelle bestimmt, zu welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums die ausgesandte Strahlung gehört:

mini|zentriert|hochkant=1.5|Elektromagnetisches Spektrum

Zusammenhang mit den retardierten Potentialen Die Untersuchung der Maxwell-Gleichungen, insbesondere der Maxwell-Thomson- und Maxwell-Faraday-Gleichungen, zeigt unsThe Feynman Lectures on Physics, Elektromagnetismus 1, Abschnitt 18.6: Lösung der Maxwell-Gleichungen; die Potentiale und die Wellengleichung.David J. Griffiths: Introduction to Electrodynamics. 4. Auflage, Pearson, 2013, Abschnitt 10.1: The Potential Formulation. unter Verwendung des Helmholtz-Theorems, dass die Felder E und B aus Potentialen V und A berechnet werden können, sodass gilt:

Wählt man die Lorenz-Eichung, so findet man für diese retardierten Potentiale folgende Ausdrücke:

wobei V das skalare Potential und A das Vektorpotential ist.

Zur Berechnung der von einer Punktladung q ausgesandten Felder verwendet man die Liénard-Wiechert-Potentiale.

Ausdruck der Nahfelder und der Strahlungsfelder aus den Potentialen Man kann das Vektorpotential A in eine radiale Komponente An zerlegen, die vom Vektor n getragen wird, und in eine transversale Komponente A, die orthogonal zum Vektor n ist:

Bezeichnet man mit Enah und Bnah den Teil des elektrischen beziehungsweise magnetischen Feldes, der in den Panofsky-Phillips-Gleichungen einen Abfall in 1/r² besitzt, so sind diese mit den retardierten Potentialen durch folgende Beziehungen verknüpft:

Bezeichnet man mit EStr und BStr den Teil des elektrischen beziehungsweise magnetischen Feldes, der in den Panofsky-Phillips-Gleichungen einen Abfall in 1/r besitzt, so sind diese mit den retardierten Potentialen durch folgende Beziehungen verknüpft:

Die radiale Komponente von A ist somit mit dem Nahfeld verbunden, während die transversale Komponente von A mit dem Strahlungsfeld verbunden ist.

Vergleich mit den Jefimenko-Gleichungen Vergleicht man die Panofsky-Phillips-Gleichungen mit den Jefimenko-Gleichungen, so stellt man fest, dass ihre Ausdrücke für das magnetische Feld B identisch sind, sich jedoch für das elektrische Feld E unterscheiden, obwohl beide Formeln äquivalent sind.

Außerdem kann man feststellen, dass die Panofsky-Phillips-Gleichung für das Feld E gegenüber der Jefimenko-Gleichung einen größeren pädagogischen Nutzen besitzt, insofern sie die Trennung zwischen Nahfeldern und Strahlungsfeldern hervorhebt und es ermöglicht, die allgemeinen Eigenschaften der Strahlungsfelder direkt zu erkennen, was der Ausdruck von Jefimenko nicht erlaubt. Sie ermöglicht insbesondere ein besseres qualitatives Verständnis des Phänomens der elektromagnetischen Strahlung.

Dagegen ist die Jefimenko-Gleichung wegen ihrer kompakteren Schreibweise in den meisten Fällen einfacher zu verwenden als die Panofsky-Phillips-Gleichung, um den Wert des Feldes E in einer gegebenen Situation zu berechnen. Eine der wenigen Ausnahmen ist der Fall der elektrischen DipolstrahlungR. de Melo e Souza, M. V. Cougo-Pinto, C. Farina, M. Moriconi: Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field. arXiv:0812.4679, 2008..

Die Panofsky-Phillips- und die Jefimenko-Gleichungen bieten daher komplementäre Vorteile.

Ergänzung Die Panofsky-Phillips-Gleichungen ermöglichen es, den Ausdruck des elektrischen Feldes E und des magnetischen Feldes B an jedem Punkt des Raumes zu bestimmen.

Sind diese Felder bekannt, so kann daraus die Kraft abgeleitet werden, die auf ein Teilchen mit der Ladung q und der Geschwindigkeit v wirkt, das sich am Punkt M befindet, indem man die Lorentzkraft berechnet:

Einzelnachweise

Siehe auch elektrisches Feld magnetisches Feld Coulomb-Gesetz Biot-Savart-Gesetz Maxwell-Gleichungen Retardiertes Potential Jefimenko-Gleichungen elektromagnetische Welle

Kategorie:Elektrodynamik