Das 24-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Beim 24-Zell sind dies 24 regelmäßige Oktaeder. Das 24-Zell besteht außerdem aus 96 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 96 Kanten und 24 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 24-Zells ist . Es sagt aus, dass das 24-Zell aus Oktaedern aufgebaut ist, von denen jeweils 3 an einer Kante aneinander grenzen. Die Eckfigur ist ein Würfel , was bedeutet, dass an einer Ecke 6 Oktaeder aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Oktaeder aneinander. Das duale Polytop des 24-Zells ist ein 24-Zell in anderer Lage. Es ist daher selbstdual.
Geschichte Das 24-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt. In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt, unter anderem von Washington Irving Stringham, G. Forchhammer, Reinhold Hoppe, Karl Rudel, Victor Schlegel, Anton Puchta, Otto Biermann, H. W. Curjel und Thorold Gosset. Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme. Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt. Ludwig Schläfli bezeichnete das 24-Zell als Eikositetraschem, während Washington Irving Stringham es Ikosatetrahedroid oder (24)-hedroid nannte. Die heute übliche Bezeichnung Vierundzwanzigzell wurde von Victor Schlegel eingeführt.
Konstruktionen des 24-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht. Hierbei bezeichnet die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet , wobei die Anzahl der Zellen bezeichnet. Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen. Für das 24-Zell sind diese gegeben durch . Um die Existenz des 24-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 24-Zells beschrieben.
Konstruktion über kartesische Koordinaten
Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 24-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Hyperebenen, in denen die Oktaeder liegen. Die Ecken des 24-Zells sind gegeben durch: alle Permutationen von (8 Punkte) und (16 Punkte). Die Ecken des dazu dualen 24-Zells haben folgende Koordinaten: alle Permutationen von (24 Punkte). Die Koordinaten der Ecken wurden in beiden Fällen so normiert, dass sie auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Oktaeder haben damit eine Länge von .
Insgesamt hat das 24-Zell daher 24 Ecken, 96 Kanten, 96 Dreiecke und 24 Oktaeder.
Aus der ersten Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 24-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Ecken fünf Schichten bilden, die 1, 8, 6, 8, und 1 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen drei Schichten mit 6, 12 und 6 Oktaedern bilden.
Visualisierung der Konstruktion des 24-Zells
thumbtime=5|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 24-Zells in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 24-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 24-Zells aus den oben beschriebenen drei Schichten von Oktaedern. Dabei werden die Oktaeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei etwas außerhalb der Umkugel des 24-Zells.
Im ersten Teil des Videos werden die Oktaeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 24-Zells darzustellen. Jede Schicht wird nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Oktaeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Oktaeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 24-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.
Eine Besonderheit ist bei der letzten Schicht zu beachten. Die sechs Oktaeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt, der auf der Achse vom Projektionszentrum zum Mittelpunkt des 24-Zells liegt. Dieser Punkt wird durch die Projektion auf den Nullpunkt der Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die letzte Schicht scheinbar die anderen beiden Schichten durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die letzte Schicht disjunkt zu allen anderen Schichten.
Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell des 24-Zells, das dem Zustand nach Einblendung aller drei Schichten von Oktaedern entspricht. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
Im Anschluss werden die Oktaeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Oktaeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Oktaeder deren Anzahl dargestellt.
Die von Hand gezeichneten Abbildungen 7–9 in der Arbeit von Stringham entsprechen dem Zustand nach der Einblendung von 6 und 18 Oktaedern. Stringham beschreibt nur die ersten zwei Schichten explizit. In seiner Konstruktion wird das 24-Zell dadurch vervollständigt, dass es von innen nach außen gestülpt wird und der im inneren entstehende Hohlraum durch sechs weitere Oktaeder der ersten Schicht aufgefüllt wird.
Koordinatenstellungen des 24-Zells
mini|Orthogonalprojektion des 24-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung; Blickrichtung entlang einer dreizähligen Symmetrieachse mini|Dreidimensionales Modell einer Orthogonalprojektion eines 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet. Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle. Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt. Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 24-Zells.
Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 24-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in die zweidimensionale Ebene. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in den meisten Fällen mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf rote Ecken werden jeweils eine Ecke und auf orangefarbene jeweils vier Ecken des 24-Zells projiziert. Aus der Abbildung sind die oben beschriebenen fünf Schichten von Ecken klar erkennbar. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 24-Zells. Auch hier werden oft mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 24-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.
Die Orthogonalprojektion eines 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in die zweidimensionale Ebene führt zu einer um 45° gedrehten, aber ansonsten identischen Projektion.
Die zweite und dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigen ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Aufgrund der Orthogonalprojektion werden 12 der 24 Ecken in Paaren von zwei auf dieselbe Ecke des Modells projiziert, so dass dieses 18 Ecken hat. Die vierte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 24-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
Bei einer Projektion des 24-Zells in eine dreidimensionale Hyperebene unterscheidet sich die Projektion in zellenzentrierter Stellung von der in eckenzentrierter Stellung. Das umschließende Polyeder der Projektion in zellenzentrierter Stellung ist ein Kuboktaeder, das der Projektion in eckenzentrierter Stellung ist ein Rhombendodekaeder.
Die ersten im vorherigen Abschnitt angegebenen Koordinaten sind eckenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine kantenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:
Eine flächenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehmatrix
Eine zellenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehmatrix
Die zweiten im vorigen Abschnitt angegebenen Koordinaten des 24-Zells entstehen aus den ersten Koordinaten nicht nur durch Dualisierung, sondern auch durch die Anwendung der letzten Drehmatrix. Sie stellen daher das 24-Zell in zellenzentrierter Koordinatenstellung dar.
Visualisierung der Konstruktion des 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung
thumbtime=20|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 24-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 24-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung: ein Schlegeldiagramm des 24-Zells