Eine stabile ∞-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie eine spezielle ∞-Kategorie, welche für den Umgang mit stabiler Homotopietheorie angepasst ist und insbesondere über einen Einhängungs- und Schleifenraumfunktor verfügt. Sehr lose können stabile ∞-Kategorien auch mit abelschen Kategorien verglichen werden, etwa ergeben sich explizit stabile ∞-Kategorien als derivierte Kategorien von abelschen Kategorien.Lurie 17, Example 1.1.1.12 Eine wichtige stabile ∞-Kategorie ist die Kategorie der Spektren, eine zentrale Kategorie in der stabilen Homotopietheorie. Objekte von stabilen ∞-Kategorien verhalten sich analog zu Spektren.
Definition In diesem Artikel werden ∞-Kategorie durch simpliziale Mengen modelliert. Für eine ∞-Kategorie ist ein Nullobjekt ein sowohl initiales als auch terminales Objekt. Falls ein Nullobjekt existiert wird punktiert genannt.Lurie 17, Definition 1.1.1.1 Ein quadratisches Diagramm , für welches (oder alternativ durch Symmetrie) auf dieses Nullobjekt geht, wird Dreieck genannt. Es beschreibt zwei Morphismen (als Bild von ) und (als Bild von ), deren Komposition über das Nullobjekt faktorisiert. Ist das Quadrat kartesisch, wird die Komposition eine Fasersequenz genannt und die Faser von . Ist das Quadrat kokartesisch, wird die Komposition eine Kofasersequenz genannt und die Kofaser von .Lurie 17, Definition 1.1.1.6 Eine stabile ∞-Kategorie ist nun eine punktierte ∞-Kategorie, in welcher alle Fasern und Kofasern existieren und die beiden Eigenschaften, eine Fasersequenz oder eine Kofasersequenz zu sein, sogar äquivalent sind.Lurie 17, Definition 1.1.1.9
Eigenschaften
Für eine stabile ∞-Kategorie ist ihre duale ∞-Kategorie ebenfalls stabil.Lurie 17, Remark 1.1.1.13 Für eine stabile ∞-Kategorie ist ihre Homotopiekategorie trianguliert.Lurie 17, Theorem 1.1.2.14 Für eine simpliziale Menge und eine stabile ∞-Kategorie ist die Funktorkategorie stabil.Lurie 17, Proposition 1.1.3.1 Stabile ∞-Kategorien haben alle endlichen Limiten und endlichen Kolimiten.Lurie 17, Proposition 1.1.3.4 Für einen Funktor zwischen stabilen ∞-Kategorien sind die Eigenschaften linksexakt (kommutiert mit endlichem Limiten), rechtsexakt (kommutiert mit endlichen Kolimiten) und exakt (kommutiert mit beiden) äquivalent.Lurie 17, Proposition 1.1.4.1
Literatur
Weblinks
stable (infinity,1)-category auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie