Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus 1-Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.Cisinski 19, Definition 1.5.1 Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden. Eine einflussreiche Arbeit dazu ist Pursuing Stacks (deutsch Verfolgung von Stacks, Stacks ist dabei eine andere Bezeichnung für ∞-Gruppoide) von Alexander Grothendieck aus dem Jahr 1983, dessen Ziel eine einfache Modellierung von ∞-Gruppoiden und deren Anwendung in der Homotopietheorie war. Werden ∞-Kategorien durch simpliziale Mengen modelliert, dann sind ∞-Gruppoide genau Kan-Komplexe.Cisinski 19, Proposition 1.5.4 & Theorem 3.5.1 Es gibt jedoch auch andere Modellierungen, etwa durch simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien, Segal-Räume oder Segal-Kategorien, in denen ∞-Gruppoide anders beschrieben werden.
Definition In diesem Artikel werden ∞-Kategorie durch simpliziale Mengen modelliert. Sei eine ∞-Kategorie. Seien jeweils -Simplizes oder -Morphismen sowie ein -Simplex oder -Morphismus mit und , alternativ notiert als . (Nach dem Lemma von Yoneda sind und auch alternativ Morphismen zwischen simplizialen Mengen.) ist linksinvertierbar, wenn ein -Morphismus existiert, sodass eine Komposition von vor ist. ist dann ein Linksinverses. ist rechtsinvertierbar, wenn ein -Morphismus existiert, sodass eine Komposition von vor ist. ist dann ein Rechtsinverses. ist invertierbar oder ein Isomorphismus, wenn beides zugleich der Fall ist. Wichtig ist dabei, dass Kompositionen in ∞-Kategorien nicht eindeutig sein müssen. Kompositionen sind über kommutative Dreiecke definiert,Cisinski 19, Definition 1.4.7 also wenn ein Morphismus eine Füllung hat. und müssen also solche Füllungen haben. Nerven von Kategorien haben etwa eindeutige Füllungen von Dreiecken und daher eindeutige Kompositionen.Cisinski 19, Gleichung (1.4.8.1) Ein ∞-Gruppoid ist nun eine ∞-Kategorie, in welcher jeder -Morphismus invertierbar ist. In der Klassifikation von -Kategorien, in welchen alle -Morphismen für invertierbar sind, sind ∞-Kategorie dann genau die -Kategorien und ∞-Gruppoide sind genau die -Kategorien.
Eigenschaften
Jeder Kan-Komplex ist ein ∞-Gruppoid.Cisinski 19, Proposition 1.5.4. Sei ein Kan-Komplex und sei ein -Simplex zwischen -Simplizes . Für den Morphismus mit und existiert eine Auffüllung , wobei das Bild von linksinvers zu ist. Für den Morphismus mit und existiert eine Auffüllung , wobei das Bild von rechtsinvers zu ist. Eine ∞-Kategorie ist genau dann ein ∞-Gruppoid, wenn ihre Homotopiekategorie ein Gruppoid ist.Cisinski 19, Corollary 1.6.7 Die singuläre simpliziale Menge eines topologischen Raumes ist ein Gruppoid.Cisinski 19, Example 1.6.9
Literatur
Weblinks
infinity-groupoid auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie