Instantons and Four-Manifolds (deutsch Instantonen und Vier-Mannigfaltigkeiten) ist ein mathematisches Lehrbuch über Yang-Mills-Theorie und deren Anwendung beim Studium von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz auch 4-Mannigfaltigkeiten genannt) wie von der Donaldson-Theorie beschrieben. Es gilt als Standardwerk auf diesem Gebiet. Es wurde von Daniel Freed und Karen Uhlenbeck, die für ihre Arbeit auf dem Gebiet mit dem Abelpreis im Jahr 2019 ausgezeichnet wurde, geschrieben und im Jahr 1984 mit einer Neuauflage im Jahr 1991 veröffentlicht.
Inhalt Instantons and Four-Manifolds beginnt zunächst mit einer dichten Sammlung der wichtigsten Konstruktionen und Resultate des Gebietes, nämlich über die Schnittform und deren Signatur sowie glatte Strukturen und die Donaldson-Invarianten. Genauer ausgearbeitet werden zunächst die 4-Mannigfaltigkeiten aus topologischer und glatter Sicht sowie die Yang-Mills-Gleichungen aus mathematischer Sicht.Freed & Uhlenbeck 84, Kapitel 1 und 2 Im Rest des Lehrbuches werden anschließend genauer die Arbeiten von Simon Donaldson zum selbstdualen SU(2) Yang-Mills-Modulraum und dem Donaldson-Theorem, was ihm die Fields-Medaille im Jahr 1986 einbrachte, Clifford Taubes zum Satz von Taubes sowie Ron Fintushel und Ronald J. Stern zum selbstdualen SO(3) Yang-Mills-Modulraum beschrieben.Freed & Uhlenbeck 84, Kapitel 4, 6, 7 und 10
Hintergrund Nach der Veröffentlichung des Donaldson-Theorems veranstalteten Karen Uhlenbeck und Michael Freedman, der genau wie Simon Donaldson für seine Arbeiten auf dem Gebiet mit der Fields-Medaille im Jahr 1986 ausgezeichnet wurde, ein Seminar zu dessen genauer Aufarbeitung. Daniel Freed war dabei für die Anfertigung von Notizen zuständig. Obwohl das Seminar zunächst gut besucht war, kam es innerhalb von drei Monaten jedoch nicht zu einem genaueren Verständnis, weshalb mit der Arbeit an einem Lehrbuch begonnen wurde. („Unfortnutely, we found after three months that we had covered most of the published material but had made little progress toward giving a complete, detailed proof.“Freed & Uhlenbeck 84, Preface to the first edition) Zentral waren dabei sämtliche analytischen Betrachtungen, welche in den von Simon Donaldson veröffentlichten Arbeiten den Kern ausmachen, aber nicht im genauen Detail beschrieben werden. („The seminar bogged down in the hard analysis, which also takes up most of Donaldson's paper (in less detail).“)
Rezeption Ronald J. Stern schrieb, das Lehrbuch lege die wunderschöne Verbindung tiefer Techniken und Ideen aus der mathematischen Physik zutage, aber auch aus der topologischen Untersuchung der differenzierbaren Untersuchung kompakter vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten („this book exposes the beautiful confluence of deep techniques and ideas from mathematical physics and the topological study of the differential study of compact four-dimensional manifolds“). Dadurch stehe das Lehrbuch in starkem Kontrast zu früheren bemerkenswerten Resultaten von Michael Freedman („this work is in sharp contrast to the earlier remarkable results of Michael Freedman“).
Siehe auch
The Geometry of Four-Manifolds (1990), weiteres mathematisches Lehrbuch über das gleiche Thema
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Literarisches Werk Kategorie:Sachliteratur (Mathematik) Kategorie:Literatur (Englisch) Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)