The Geometry of Four-Manifolds (deutsch Die Geometrie von Vier-Mannigfaltigkeiten) ist ein mathematisches Lehrbuch über Yang-Mills-Theorie und deren Anwendung beim Studium von 4-Mannigfaltigkeiten wie von der Donaldson-Theorie beschrieben. Es gilt als Standardwerk auf diesem Gebiet. Es wurde von Simon Donaldson, dem für seine Arbeiten auf dem Gebiet im Jahr 1986 die Fields-Medaille verliehen wurde, sowie Peter Kronheimer geschrieben und am 13. September 1990 veröffentlicht.
Inhalt The Geometry of Four-Manifolds beschreibt zunächst die Grundlagen der Theorien von 4-Mannigfaltigkeiten und Zusammenhängen auf Hauptfaserbündeln sowie Zusammenhängen auf Vektorbündeln.Donaldson & Kronheimer 90, Kapitel 1, 2 und 5 Weiterführend wird die Yang-Mills-Theorie aus mathematischer Sicht erklärt, wozu etwa der Singularitätssatz von Uhlenbeck, die ADHM-Konstruktion oder der zentrale Yang-Mills-Modulraum gehören, auf welchem die Donaldson-Invarianten basieren.Donaldson & Kronheimer 90, Kapitel 2, 3, 4 und 9 Ein spezieller Fokus liegt dabei auf der Kombination mit der komplexen Geometrie, wozu insbesondere Kähler-Mannigfaltigkeiten und (stabile) holomorphe Vektorbündel gehören.Donaldson & Kronheimer 90, Kapitel 6
Hintergrund Simon Donaldson und Peter Kronheimer promovierten beide an der Universität Oxford unter der Aufsicht von Michael Francis Atiyah, jeweils in den Jahren 1983 und 1986. Simon Donaldson war in beiden Jahren zudem eingeladener Sprecher auf dem Internationalen Mathematikerkongress (ICM) und hielt Vorträge über Gauge theory and topology (deutsch Eichtheorie und Topologie) sowie Geometry of Four-Manifolds (deutsch Geometrie von Vier-Mannigfaltigkeiten).
Rezeption des Buches Elmer Rees beschrieb das Lehrbuch als aufpolierte Aufarbeitung der einführenden Arbeiten von Simon Donaldson sowie den folgenden Entwicklungen, in denen er eine führende Rolle spielte („polished account of Donaldson's pioneering work; also included are several of the consequent developments in which he has played the leading role“). Für jemanden mit dem erforderlichen Grundwissen in fortgeschrittenen Kursen sei das Lehrbuch dabei in sich geschlossen. („For someone with a good working knowledge of a range of graduate level courses, this book is self-contained.“) Der Leser sollte Vorkenntnisse aus der algebraischen Topologie, Differentialtopologie, Differentialgeometrie, algebraischen Geometrie und globalen Analysis mitbringen. („The background is in algebraic and differential topology, differential geometry, algebraic geometry and global analysis.“) Vorkenntnisse aus der Physik seien nicht notwendig und würden auch nicht behandelt („background from physics is not given since it is not needed explicitly for the mathematical development“). Elmer Rees schloss, das Lehrbuch könne ohne Zweifel als Grundlage dienen und zukünftige Generationen in der Mathematik zur Behandlung schwieriger Fragestellungen inspirieren. („This book will be the basic reference. It will undoubtedly inspire future generations of mathematicians to attack some interesting and difficult questions.“)
Siehe auch
Instantons and Four-Manifolds (1991), weiteres mathematisches Lehrbuch über das gleiche Thema
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Literarisches Werk Kategorie:Sachliteratur (Mathematik) Kategorie:Literatur (Englisch) Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)