Das (auch, vor allem süddeutsch, der) Tetraeder [] (von „vier“ und „Sitz“, „Sessel“, „Gesäß“ bzw. übertragen „Seitenfläche“), auch Vierflächner oder Vierflach, ist das dreidimensionale Simplex, ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Es ist das einzige konvexe Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit vier Flächen.
Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige Tetraeder mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen, das ein platonischer Körper ist, gemeint.
Es gibt beim Tetraeder außer der regelmäßigen auch andere Symmetrien, z. B. die des Disphenoids, der dreiseitigen Pyramide und der Dreieckpyramide.Kurt Peter Müller: Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-519-12397-2, S. 81.
Regelmäßiges Tetraeder Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein Polyeder mit 4 kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen 6 gleich langen Kanten und 4 Ecken, in denen jeweils drei Seitenflächen zusammentreffen
Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige, dreiseitige Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.
Symmetrie
Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das regelmäßige Tetraeder ein reguläres Polyeder. Es hat
4 dreizählige Drehachsen (durch die Ecken und die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seitenflächen), 3 vierzählige Drehspiegelachsen und damit auch drei zweizählige Drehachsen bzw. drei Symmetrieachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) sowie 6 Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht zur gegenüberliegenden Kante).
Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S4 (die Punktgruppe Td nach Schoenflies bzw. 3m nach Hermann-Mauguin) und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist eine Untergruppe der Oktaedergruppe oder Würfelgruppe.
Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe
12 Drehungen (gerade Permutationen), nämlich die identische Abbildung, 8 Drehungen um 120° (4 mögliche Drehachsen durch jeweils eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche, 2 Möglichkeiten für den Drehsinn) und 3 Drehungen um 180° (Drehachsen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten)
sowie
12 ungerade Permutationen. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die Spiegelung an einer festen Symmetrieebene durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine Ebenenspiegelung beschreiben, die anderen sechs als Drehspiegelungen von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten Ebene, die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.
Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe (die Punktgruppe T bzw. 23). Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.
Das Tetraeder ist der einzige platonische Körper, der nicht punktsymmetrisch ist und bei dem jede Ecke einer Fläche gegenüberliegt.
Konstruktion mini|hochkant=1.8|Tetraeder, Konstruktionsskizze Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 13, die Konstruktion des Tetraeders.
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer Dynamische-Geometrie-Software (DGS).
Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich und deren Mittelpunkt . Beim Bestimmen der -, -, und -Achsen eines kartesischen Koordinatensystems ergeben sich die Punkte , , und auf der Oberfläche der Umkugel.
Vorab ist aus einem rechtwinkligen Dreieck die Kantenlänge des Tetraeders zu ermitteln. Hierzu wird zuerst der Umkreisbogen eingezeichnet. Das anschließend konstruierte rechtwinklige Dreieck liefert mit der Kathete die Höhe sowie als Hypotenuse die Kantenlänge des Tetraeders.Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24
Für die eigentliche Konstruktion reichen drei Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises um Mittelpunkt mit Richtung -Achse und Radius . Anschließend wird der erste Eckpunkt beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur -Achse und Radius gleich der Kantenlänge um , liefert die beiden noch fehlenden Eckpunkte und . Nach dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte ist das Tetraeder fertiggestellt.
Weitere Eigenschaften Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen Körpern mini|Tetraeder mit dualem einbeschriebenen Tetraeder. Die Mittelpunkte der gleichseitigen Dreiecke des äußeren Tetraeders sind die Ecken des inneren Tetraeders. Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder (siehe Abbildung). Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual. Die Seitenlänge des einbeschriebenen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.
Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel das abgestumpfte Tetraeder mit 4 Sechsecken und 4 Dreiecken (siehe archimedischer Körper), das Oktaeder mit 4 + 4 = 8 Dreiecken und 6 Ecken (mit höherer Symmetrie) als Durchschnitt zweier Tetraeder, das Sterntetraeder (ein Oktaeder mit 8 aufgesetzten Tetraedern) als dreidimensionale Vereinigungsmenge zweier Tetraeder den Würfel mit 4 + 4 = 8 Ecken (und mit höherer Symmetrie) als konvexe Hülle dieses Sternkörpers.
Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.
Umgebender Würfel Das Tetraeder kann in einen Würfel (Hexaeder) so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind (siehe Abbildung). Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens. Die 8 Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.
mini|hochkant=1.2|Zwei Tetraeder im Würfel haben als Vereinigungsmenge ein Sterntetraeder. mini|hochkant=1.2|Zwei Tetraeder im Würfel haben als dreidimensionale Schnittmenge ein Oktaeder.
Tetraeder umschreibt Oktaeder Wird ein Oktaeder von einem Tetraeder umschrieben, sind die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten und vier der acht Oktaederflächen liegen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder.
mini|hochkant=1.2|Tetraeder umschreibt Oktaeder
Querschnitt (Siehe hierzu Wall of Fire: Tetrahedron (Video)) mini|Quadratischer Querschnitt durch einen Tetraeder Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ergibt. Dabei entspricht die Seitenlänge des Quadrats der halben Kantenlänge des Tetraeders. Hierfür wird der Querschnitt so gelegt, dass wie – im Bild 1 dargestellt – die Schnittebene parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten und durch die Mitten der vier Kanten verläuft. Die somit entstehenden Teile des Tetraeders sind zueinander kongruent. Liegt die Schnittebene parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, aber nicht in der Mitte der Kanten, ergibt der Querschnitt ein Rechteck (Bild 2).
Verschiebt man zwei benachbarte Eckpunkte eines virtuellen Quadrats entlang der Tetraederkanten gleich weit, ergibt der Querschnitt ein Trapez (Bild 3). Darüber hinaus können zwei gegenüberliegende Eckpunkte dieses Quadrats entlang der Tetraederkanten so gleich weit verschoben werden, dass der Querschnitt ein Drachenviereck (Bild 4) ergibt.
Liegt die Schnittebene parallel zu einer der vier Seitenflächen, ergibt der Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck (Bild 5).
Beispiel Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit und sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit und , so bilden und sowie und jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z. B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten und haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken und . Die Kanten sind: und . Die Seitenflächen sind die Dreiecke und .
Das zweite Tetraeder hat die Ecken und .
Die dreidimensionale Schnittmenge dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten und bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigungsmenge ist das Sterntetraeder. Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.
Formeln Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Tetraeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.
Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge aVolumen450px ohne Raumwinkel in den EckenOberflächeninhaltUmkugelradiusKantenkugelradiusInkugelradiusPyramidenhöheKantenabstandVerhältnis von Volumenzu UmkugelvolumenInnenwinkel desgleichseitigen DreiecksWinkel zwischenbenachbarten FlächenWinkel zwischenKante und Fläche Tetraederwinkel Raumwinkel in den Ecken Sphärizität Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten mini|hochkant=1.2|Reg. Tetraeder mini|hochkant=1.4|Regel. Tetraeder: Berechnung von Eigenschaften
Ein reguläres Tetraeder besitzt 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. Ist die Kantenlänge , so ist die Höhe (=Seitenhalbierende) eines Dreiecks
Fasst man das Tetraeder als Pyramide mit einem regelmäßigen Dreieck als Grundfläche auf (siehe Bild), so ist die Höhe der Pyramide
Punkte des Tetraeders Die Punkte (Ecken) eines regelmäßigen Tetraeders mit der Kantenlänge lassen sich in kartesischen Koordinaten so beschreiben:
Der Mittelpunkt des Tetraeders ist der geometrische Schwerpunkt:
Er hat zu den Ecken den gleichen Abstand.
In-, Um- und Kantenkugelradien Aus der Zeichnung erkennt man die Radien der Um-, In- und Kantenkugeln:
Die Kantenkugel berührt die Kanten in ihren Mittelpunkten:
Winkel Der Winkel zwischen zwei Dreiecksebenen ergibt sich (siehe Bild) aus
Der Winkel zwischen einer Kante und einer Dreiecksebene:
Für den Tetraederwinkel , unter dem man eine Kante vom Mittelpunkt aus sieht, gilt
Der Tetraederwinkel spielt in der Chemie eine wichtige Rolle, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls.
Oberfläche, Volumen Die Oberfläche des Tetraeders ist die Summe der 4 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist . Damit ist die Oberfläche des Tetraeders: .
Das Volumen des Tetraeders ist das Volumen der Pyramide mit der Grundfläche und der Höhe : Volumen des Tetraeders .
Raumwinkel in den Ecken mini|hochkant=1|Raumwinkel mit Einheitskugel mini|hochkant=0.5|Raumwinkel Der Raumwinkel in einer Tetraederecke ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Dreiecks, das die Kanten einer Ecke auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Die Winkel dieses sphärischen Dreiecks sind bei einem regulären Tetraeder alle gleich dem Winkel (siehe oben) zwischen zwei Dreiecksebenen.
Der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks mit den Winkeln auf der Einheitskugel ist .
Damit ist der Raumwinkel in einer Tetraederecke
Der Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel
Netze des regelmäßigen Tetraeders