mini|Beschreibung aus Kuttaka in Aryabhatiya, wie sie von Aryabhata gegeben wird (Darstellung in Devanagari-Schrift)|300x300px
Aryabhatiya (IAST: ) oder Aryabhatiyam (), eine Abhandlung über Astronomie, ist das wichtigste und einzig überlieferte Werk des indischen Mathematikers Aryabhata, der im 5. Jahrhundert lebte. Der Historiker Roger Billard vermutet auf der Grundlage der historischen Verweise, dass das Buch um 510 n. Chr. geschrieben wurde.
Struktur und Stil Der indische Mathematiker Aryabhata I. hat das Buch Aryabhatiya in Sanskrit verfasst und in vier Kapitel (padas) unterteilt. Es systematisiert die Ergebnisse älterer Siddhantas und umfasst insgesamt 121 Strophen in einem für solche Werke in Indien typischen mnemonischen Schreibstil in Form eines Aphorismus verfasst.
Gītīkāpāḍaṃ inkl. Dasagitaka (13 Strophen) über große Zeiteinheiten – Kalpa, Manvantara und Yuga –, die eine andere Kosmologie darstellen als frühere Texte wie Lagadhas Vedanga Jyotisha (ca. 1. Jahrhundert v. Chr.). Es gibt auch eine Tabelle mit Sinuswerten (jya) in einer einzigen Strophe. Die Dauer der Planetenumläufe während eines Maha-Yuga („lange Periode“) wird mit 4,32 Millionen Jahren angegeben, wobei dieselbe Methode wie im Surya Siddhanta (astronomisches Lehrbuch zum hinduistischen Lunisolarkalender) verwendet wird. Ganitapada (33 Strophen) über Messungen (kṣetra vyāvahāra), arithmetische und geometrische Reihen, Gnomon (Schattenstab für Sonnenuhren) (shanku-chhAyA) sowie einfache, quadratische, simultane und unbestimmte Gleichungen (Kuṭṭaka, Verfahren zur Lösung linearer Diophantischer Gleichungen). Kalakriyapada (25 Strophen) über verschiedene Zeiteinheiten und eine Methode zur Bestimmung der Positionen der Planeten für einen bestimmten Tag, Berechnungen zum Schaltmonat (adhika-masa), Mondtagen (kShaya-tithis) und eine Sieben-Tage-Woche mit Namen für die Wochentage. Golapada (50 Strophen) über geometrische/trigonometrische Aspekte der Himmelskugel, Merkmale der Ekliptik, des Himmelsäquators, der Form der Erde, Ursache von Tag und Nacht, Aufgang der Tierkreiszeichen am Horizont usw. Darüber hinaus zitieren einige Versionen am Ende einige Kolophone, in denen die Vorzüge des Werks gepriesen werden usw. Es ist sehr wahrscheinlich, dass das Studium von Aryabhatiya von einem versierten Lehrer begleitet werden sollte. Während einige Strophen einen logischen Ablauf haben, ist dies bei anderen nicht der Fall, und ihre ungewohnte Struktur kann es einem gelegentlichen Leser erschweren, ihnen zu folgen.
Inhalt Aryabhatiya besteht aus vier Kapiteln oder Adhyāyās. Das erste Kapitel heißt Gītīkāpāḍaṃ und enthält 13 Shlokas (Strophen). Aryabhatiya beginnt mit einer Einleitung namens „Dasagitaka“ oder „Zehn Strophen“. Diese beginnt mit einer Hommage an Brahman, den „kosmischen Geist“ im Hinduismus. Als Nächstes legte Aryabhata das in seinem Werk verwendete Zahlensystem, den Aryabatha-Code, dar und drückte mit dieser Zahlschrift die ganzen Zahlen auf Basis von Vokalen und Konsonanten des Sanskrit aus, um sie in Versform darzustellen. Gītīkāpāḍaṃ enthält auch eine Auflistung astronomischer Konstanten und die Halbsehnentabelle (siehe unten) für 24 Intervalle des rechten Winkels. Anschließend gibt er einen Überblick über seine astronomischen Erkenntnisse.
Der größte Teil der Mathematik ist im nächsten Kapitel, dem „Ganitapada“ oder „Mathematik“, enthalten.
Danach folgt das Kapitel „Kalakriyapada“ oder „Die Zeitrechnung“. Darin unterteilt Aryabhata Tage, MonateBerechnungen bezüglich des Schaltmonats Adhik-masa („zusätzlicher Monat“), um Sonnen- und Mondkalender im Mittel alle 32,5 Monate zu synchronisieren. und Jahre entsprechend der Bewegung der Himmelskörper. Er unterteilt die Geschichte nach astronomischen Ereignissen; aus dieser Darstellung wurde das Jahr 499 n. Chr. für die Entstehung von Aryabhatiya berechnet. Das Buch enthält auch Regeln für die Berechnung der Längengrade von Planeten unter Verwendung von Exzentrizität und Epizyklen.
Im letzten Kapitel, „Gola“ oder „Die Sphäre“, beschreibt Aryabhata ausführlich die himmlische Beziehung zwischen der Erde und dem Kosmos. Dieses Kapitel ist bekannt für seine Beschreibung der Rotation der Erde um ihre eigene Achse. Er verwendet außerdem die Armillarsphäre und beschreibt detailliert Regeln in Bezug auf Probleme der Trigonometrie und die Berechnung von Sonnenfinsternissen.
Halbsehnentabelle mini|Bogenlänge (arco) und Sehne eines Kreisbogens (cuerda) Aryabhatas HalbsehnentabelleDer Begriff „Sehnentabelle“ statt „Sinustabelle“ wird bevorzugt, weil er (a) den Begriff der (Bogen)Sehne (griech. χορδή (chоrdḗ)) in griechischen Werken fortführt und „Sinus“ als fehlerhafte Übersetzung in das mittelalterliche Latein gilt (siehe Trigonometrische Funktion#Etymologie). in Strophe 12 des Kapitels Dasagitaka enthält 24 Werte zur Länge der halben Kreissehne für einen rechten Winkel in einer Genauigkeit von drei bis vier Stellen. Sie ist keine Reihe von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Sie ist auch keine Reihe von Werten der daraus direkt ableitbaren trigonometrischen Sinusfunktion im herkömmlichen Sinne, sondern enthält die ersten Differenzen ihrer Werte in Bogenminuten, weshalb sie auch als „Aryabhaṭas Tabelle der Sinusdifferenzen“ bezeichnet wird. Die als Sanskrit-Verse kodierten Werte können anhand des ebenfalls in Aryabhaṭiya erläuterten Aryabhata-Code entschlüsselt werden, der die Zahlen und ihren Stellenwert durch Vokale und Konsonanten beschreibt:
Aryabhatas Verse beschrieben die erste Halbsehnentabelle in der Geschichte der Mathematik. Die heute verlorenen Werke von Hipparchos von Nicäa (ca. 190 v. Chr. – ca. 120 v. Chr.) und Menelaos (ca. 70–140 n. Chr.) sowie die Sehnentabelle von Ptolemäus (ca. 90 n. Chr. – ca. 168 n. Chr.) waren Tabellen von Sehnen und nicht von Halbsehnen. Die Genauigkeit der Werte wurde erst durch die Entdeckung der Potenzreihen der Sinusfunktion durch Madhava von Sangamagrama (1350 – 1425), dem Begründer der Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik, mit sieben oder acht gültigen Nachkommastellen verbessert.
Die relevanten Winkel sind (in Schritten von 3° 45') in der zweiten Spalte der Tabelle aufgeführt. Die dritte Spalte enthält die Liste der Zahlen aus den oben erwähnten Sanskrit-Versen in Devanagari-Schrift (in der vierten Spalte in ISO-15919-Transliteration). Die nächste Spalte enthält diese Zahlen in der üblichen Schreibweise als arabischen Ziffern. Aryabhaṭas Zahlen sind die Differenzen der Sehnenwerte. Der entsprechende Wert der Sehne (oder genauer gesagt des jya) kann durch Addition der Differenzen bis zu diesem Winkel ermittelt werden. Somit ist der Wert von jya, der 18° 45′ entspricht, die Summe 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105. Um die Genauigkeit von Aryabhaṭas Berechnungen zu beurteilen, sind die modernen Werte von jyas in der letzten Spalte der Tabelle angegeben.
Aryabhata hat die Länge der Halbsehne für einen Grundkreis mit einem Radius von 3438 berechnet. Der Grund für die Wahl dieses Parameters ist die Idee, den Umfang eines Kreises in Winkelmaßen zu messen. In dieser Maßeinheit beträgt der Umfang eines Kreises 360° = (60 × 360) Minuten = 21.600 Minuten. Der Radius des Kreises, dessen Umfang 21.600 Minuten beträgt, ist 21.600 / 2π Minuten. Berechnet man dies mit dem Aryabhata bekannten Wert π = 3,1416, erhält man einen Radius des Kreises von ungefähr 3438 Minuten.
Sl. No Winkel ( A )(in Bogenminuten) Wert in Aryabhatas Notation (Devanagari) Wert (in ISO-15919-Transliteration) Wert in arabischen Ziffern Aryabhaṭas Wert injya (A) Moderner Wertin jya (A)(3438 × sin (A)) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Einige Mathematikhistoriker, darunter David Pingree, argumentierten, dass die in Aryabhatiya angegebene Halbsehnentabelle eine Adaption früherer Tabellen von Mathematikern und Astronomen des antiken Griechenlands, insbesondere von Hipparchos’ Sehnentabelle. Unter der Annahme dieser Hypothese schreibt G. J. Toomer: „Es gibt kaum Unterlagen über die früheste Ankunft griechischer astronomischer Modelle in Indien oder darüber, wie diese Modelle ausgesehen haben könnten. Daher ist es sehr schwierig festzustellen, inwieweit das, was uns überliefert wurde, übermitteltes Wissen darstellt und was von indischen Wissenschaftlern stammt. … Die Wahrheit ist wahrscheinlich eine verworrene Mischung aus beidem.“
Im 14. Jahrhundert stellte der indische Mathematiker Madhava, ebenfalls auf Sanskrit und in Versform, auf Basis einer Reihenentwicklung eine Sehnentabelle mit höherer Genauigkeit auf.
Bedeutung Für die Entstehung des Werks wird oft auch das Jahr 499 n. Chr. genannt, weil Aryabhata in Kalakriyapada sein Geburtsjahr 476 (Jahr 3600 des Kali-Yuga) und sein Alter mit 23 Jahren angibt.Walter E. Clark, S. 54 f. Roger Billard zeigte jedoch mittels der sieben Planetenlängen, dass diese für ca. 510 n. Chr. am besten zu den im Werk dargestellten astronomischen Verhältnissen passen.Es ist eher unwahrscheinlich, dass er als 23-Jähriger ein so tiefschürfendes und epochales Werk schreiben konnte.
Die Abhandlung verwendet ein geozentrisches Modell des Sonnensystems, in dem Sonne und Mond jeweils von Epizyklen getragen werden, die sich um die Erde drehen. In diesem Modell, das auch im Paitāmahasiddhānta (ca. 425 n. Chr.) zu finden ist, werden die Bewegungen der Planeten jeweils von zwei Epizyklen bestimmt, einem kleineren manda (langsamen) Epizyklus und einem größeren śīghra (schnellen) Epizyklus.David Pingree, Astronomy in India, in Christopher Walker, ed., Astronomy before the Telescope, (London: British Museum Press, 1996), S. 127–129 (englisch).
Einige Kommentatoren, insbesondere B. L. van der Waerden, vermuteten, dass bestimmte Aspekte von Aryabhatas geozentrischem Modell auf den Einfluss eines zugrunde liegenden heliozentrischen Modells hindeuten. Diese Ansicht wurde von anderen widerlegt und insbesondere von Noel Swerdlow scharf kritisiert, der sie als direkten Widerspruch zum Text bezeichnete.
Trotz des geozentrischen Ansatzes des Werks enthält Aryabhatiya viele Ideen, die für die moderne Astronomie und Mathematik von grundlegender Bedeutung sind. Aryabhata behauptete, dass der Mond, die Planeten und die Sternbilder durch reflektiertes Sonnenlicht leuchten,Hayashi (2008), „Aryabhata I“, Encyclopædia Britannica.Gola, 5; p. 64 in The Aryabhatiya of Aryabhata: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy, übersetzt von Walter Eugene Clark (University of Chicago Press, 1930; Nachdruck von Kessinger Publishing, 2006). „Die Hälfte der Sphären der Erde, der Planeten und der Sternbilder wird von ihren Schatten verdunkelt, und die Hälfte, die der Sonne zugewandt ist, ist entsprechend ihrer Größe hell (ob klein oder groß).“ erklärte korrekt die Ursachen von Sonnen- und Mondfinsternissen und berechnete Werte für die Kreiszahl π und die Länge des siderischen Jahrs, die den heute bekannten Werten sehr nahe kommen.
Sein Wert für die Länge des siderischen Jahrs von 365 Tagen, 6 Stunden, 12 Minuten und 30 Sekunden ist nur 3 Minuten und 20 Sekunden länger als der moderne wissenschaftliche Wert (365 Tagen, 6 Stunden, 9 Minuten und 10 Sekunden). Seine genaue Annäherung an π lautete: „Addieren Sie vier zu hundert, multiplizieren Sie mit acht und addieren Sie dann zweiundsechzigtausend. Das Ergebnis ist ungefähr der Umfang eines Kreises mit einem Durchmesser von zwanzigtausend. Nach dieser Regel ergibt sich das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.“ Mit anderen Worten: π ≈ 62832/20000 = 3,1416, gerundet auf vier Dezimalstellen. Aryabhata erklärte nicht, wie er darauf kam.
In diesem Buch wurde der Tag von einem Sonnenaufgang zum nächsten berechnet, während er in seinem „Āryabhata-siddhānta“ den Tag von einer Mitternacht zur nächsten nahm. Auch bei einigen astronomischen Parametern gab es Unterschiede.
Einfluss