mini|Thomsons Analysator von 1878 mit sieben Kugeln (links zwischen der ersten und zweiten Kugel sieht man die Kurbel und den Stift zum Abfahren des Graphen, mit dem alle Kugeln nach links und rechts verschoben werden) mini|hochkant|Analysator von Sommerfeld und Wiechert 1890 (oben mittig erkennt man den Beobachtungsspiegel) mini|Bedienung des Sommerfeld-Analysators Ein harmonischer Analysator ist ein mathematisches Instrument und ein mechanischer Analogrechner, mit dem sich die Sinus- und Cosinus-Koeffizienten der Fourierreihe einer periodischen Funktion ermitteln lassen.Guido Walz: Harmonischer Analysator. In: Lexikon der Mathematik (Online bei spektrum.de). Springer, Heidelberg 2017. (abgerufen am 30. Dezember 2025) Link Der Name dieser Geräte leitet sich von der Fourier-Analyse ab, die auch als klassische harmonische Analyse bezeichnet wird. Zur Bestimmung der Koeffizienten fährt man bei den moderneren Geräten die graphische Darstellung einer kompletten Periode der Funktion mit einem Fahrstift ab. Je nach Gerätetyp können mehrere Koeffizienten gleichzeitig bestimmt werden. Anderenfalls ist die Kurve mit jeweils veränderter Gerätekonfiguration mehrfach abzufahren.
Anwendungsgebiete Ein harmonischer Analysator wird vor allem verwendet, um zeitliche Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen, die auch als Harmonische bezeichnet werden. Analysiert wird eine Periode der Grundfrequenz. Die zeitlichen Signale können beispielsweise die Gezeiten, der Wechselstrom, Erschütterungen bei Erdbeben oder akustische Schwingungen sein, die auf mechanischem Wege oder optisch auf lichtempfindlichen Materialien aufgezeichnet werden. Durch moderne und leistungsfähige Computer werden seit den 1980er Jahren harmonische Analysatoren zunehmend überflüssig.
Erste Harmonische Analysatoren William Thomson (der spätere Lord Kelvin) erfand 1872/76 eine Gezeitenrechenmaschine, welche die Pegelstände der Themse berechnete. Um die Parameter für die Einstellungen besser bestimmen zu können, ließ er 1878 bei R W Munro and Company in London einen harmonischen Analysator bauen, der mit großen Scheiben, Walzen und Kugeln arbeitete.Kelvin's Harmonic Analyser in der Online Collection der Science Museum Group (abgerufen am 30. Dezember 2025) Die Übertragung der Bewegung von einer Scheibe auf die jeweilige Walze mittels einer Kugel war übrigens eine Erfindung des Ingenieurs James Thomson, eines älteren Bruders von William.Olaus Henrici: Über Instrumente zur Harmonischen Analyse. In: Walther Dyck (Hsgb.): Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. C. Wolf & Sohn, München 1892. S. 128. Solche Maschinen waren allerdings sehr kostenintensive, schwere und nicht transportable Einzelstücke. Außerdem gab es große Probleme bei der Genauigkeit.Walther Dyck (Hsgb.): Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. C. Wolf & Sohn, München 1892. S. 222.
Der Physiker und Seismologe Emil Wiechert entwickelte zusammen mit dem Mathematiker und theoretischen Physiker Arnold Sommerfeld an der Albertus-Universität Königsberg einen transportablen und genaueren harmonischen Analysator. Das Gerät wurde im Laufe des Jahres 1890 in der mathematischen Abteilung des physikalischen Instituts unter Paul Volkmann vom Institutsmechaniker Gross hergestellt und 1891 erstmals vorgeführt.Walther Dyck (Hsgb.): Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. C. Wolf & Sohn, München 1892. S. 214. Ein extra aufgestelltes Uhrwerk mit Gewichten setzte das Gerät in Bewegung. Der Bediener saß in rund drei Metern Entfernung und steuerte den Analysator mit Hilfe zweier Fäden unter Beobachtung durch ein Fernrohr.Wolfgang Eisenberg: Der junge Arnold Sommerfeld und die Integriermaschine. In: Wolfgang Eisenberg (Hsgb.): Physik, Information und Informationssysteme. Carl Friedrich von Weizsäcker zum 90. Geburtstag – Symposium 2002. Universitätsverlag, Leipzig 2005. ISBN 978-3-86583-098-2, S. 39–49. Digitalisat Ein großer Nachteil des Analysators von Wiechert und Sommerfeld bestand jedoch darin, dass bei jedem Durchlaufen der Kurve jeweils nur ein einziger Koeffizient ermittelt werden konnte.Walther Dyck (Hsgb.): Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. C. Wolf & Sohn, München 1892. S. 221.
Erfolgreiche Konstruktionstypen mini|Analysator Henrici-Coradi von um 1900 mit drei Kugeln zur Bestimmung von drei sin-cos-Koeffizientenpaaren (Sammlung des Deutschen Museums) Henrici-Coradi Als erster harmonischer Analysator mit größerer Verbreitung und großer Genauigkeit gilt der Henrici-Coradi aus dem Jahr 1894.Henricis Harmonic Analyser No 3 1894 in der Online Collection der Science Museum Group (abgerufen am 30. Dezember 2025) Seit 1889 konstruierte der aus Deutschland stammende Olaus Henrici solche Geräte. Er war damals Professor für Mechanik und Mathematik am City and Guilds College (auch Central Technical College) in London.Olaus Henrici: On a new harmonic analyser. The London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine and journal of science, Vol. 38 (CCXXX) 1894, S. 110–121 Zusammen mit seinem Assistenten Archibald Sharp entwickelte Henrici das Gerät weiter und ließ es schließlich beim Feinmechaniker Gottlieb Coradi in Zürich produzieren.Archibald Sharp: Harmonic analyser, giving direct readings of the amplitude and epoch of the various constituent simple harmonic terms. The London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine and journal of science, Vol. 38 (CCXXX) 1894, S. 121–125 Coradi war ursprünglich Geschäftspartner von Albert Ott in Kempten, machte sich aber 1880 in seinem Heimatort mit dem Mathematisch-Mechanischen Institut G. Coradi selbstständig.
Den Henrici-Coradi gab es in Ausführungen mit einem, drei und fünf Integriermechanismen mit Glaskugeln, an denen je zwei Rollen die sin- und cos-Koeffizienten maßen. Es konnten also parallel bis zu zehn Koeffizienten gleichzeitig ermittelt werden.Mathematical-Mechanical Institute of G. Coradi - Catalogue of Mathematical Precision Instruments. Edition 1915. S. 34–35 pdf Die Messrollen sind identisch zu denen, die schon von Planimetern bekannt sind. Ein Nachteil der Henrici-Coradi war die feste Länge der Grundperiode von 360 mm, so dass die zu analysierenden Kurven gegebenenfalls umgezeichnet werden mussten.
Wohl auch aufgrund des hohen Preises entsprachen die Verkaufszahlen nicht Coradis Erwartungen. Die Analysatoren wurden hauptsächlich von Universitäten in Europa, Russland und den Vereinigten Staaten sowie vom Earthquake Research Committee in Tokio erworben. In den 1930er Jahren nutzte der Psychologe Carl Emil Seashore einen Henrici-Coradi für seine Untersuchungen zur Musikpsychologie.
Der Henrici-Coradi zählt nach der Einteilung von Friedrich Adolf Willers zu den Analysatoren dritter Art.Friedrich Adolf Willers: Mathematische Maschinen und Instrumente. Akademie-Verlag, Berlin 1951. S. 199–215.
mini|hochkant|Vierfacher Doppelanalysator Mader-Ott von 1946 zur Bestimmung von vier sin-cos-Koeffizientenpaaren (Sammlung des Deutschen Museums) Mader-Ott mini|Demonstration: Bestimmung des ersten sin-Koeffizienten einer reinen Sinuskurve mit einem Einfachanalysator Mader-Ott (Seriennr. 2259); Ablesung am Planimeter: Amplitude 40 mm 1909 ließ der deutsche Ingenieur Otto Mader, bevor er bei Hugo Junkers tätig wurde, seine ersten harmonischen Analysatoren bei der Firma Gebrüder Sterzl in MünchenZerfowski 2022 gibt, im Gegensatz zu anderen Quellen, für Gebrüder Sterzl Wien an. produzieren.Detlef Zerfowski: Harmonische Analysatoren – Analoge Rechengeräte für Ingenieure und Wissenschaft. Historische Bürowelt Bd. 129 (2022) S. 16–22. pdf Im Gegensatz zu älteren Konstruktionen, die Integrale von Produkten
mit Cosinus- und Sinusfunktionen für g(t) auswerten, nutzen die Geräte von Mader Stieltjesintegrale
und zählen damit zu den sogenannten Analysatoren zweiter Art. Als Integrator h(t) (Gewichtsfunktion) dienen hier jeweils Sinus- und Cosinusfunktionen, die durch die Rotation von Zahnrädern erzeugt werden. Für einen Anschaffungspreis von 200 Mark waren die Geräte vergleichsweise günstig.
1929 bot Albert Ott in Kempten (heute Ott Hydromet) mit dem Mader-Ott eine sehr erfolgreiche Weiterentwicklung an. Einige Jahre später gab Sterzl nach rund 200 verkauften Exemplaren die Produktion auf, bei Ott wurden es bis Anfang der 1970er Jahre rund 600. Die vergebenen Seriennummern liefen von 2001 bis 2500 (Fertigungsjahre 1929–1961) und von 69001 bis 69100 (Fertigungsjahre 1962 bis etwa 1972). Zwischen 1950 und 1965 produzierte auch W. F. Stanley & Co. Ltd. in New Eltham, einem Stadtteil des Londoner Stadtbezirks Royal Borough of Greenwich, rund 60 Mader-Analysatoren.
Die Mader-Ott gab es als Einzel- und Doppelanalysator. Auf dem Wagen, der in einer Leitschiene von oben nach unten laufen kann, ist eine Zahnstange angebracht, die ein oder (bei Doppelanalysatoren) zwei Zahnräder antreibt. Die großen mit 1 gekennzeichneten Zahnräder vollenden beim Abfahren der gesamten Grundperiode genau eine Umdrehung, die kleineren Zahnräder für die Koeffizienten der höheren Frequenzen (Kennzeichnung 2 bis 6) entsprechend öfter.Michael Palm: Historische Integratoren der Firma A. Ott – Anschauliche Darstellung der Funktionsweise und Animation (Wissenschaftliche Hausarbeit). TH Darmstadt Wintersemester 2013/2014. S. 71–80 pdf In den Zahnrädern befinden sich zwei Vertiefungen zum Einhängen der Fahrstiftspitze eines Planimeters, das meist nicht zum Lieferumfang gehörte. Die Vertiefungen sind jeweils mit S und C gekennzeichnet, wobei S für den Sinus- und C für den Cosinus-Koeffizienten steht. Damit das Planimeter auf dem Höhenniveau des Zahnrades arbeiten kann, gibt es ein Holzpodium. Da die Zahnräder für Koeffizienten über sechs zu klein wären, nutzt man bis zur Ordnung 25 Zwischenzahnräder.
Der Fahrwagen wird über einen Winkelhebel angetrieben. Durch Verschieben des Fahrstiftes lassen sich Periodenlängen von 40 bis 360 mm einstellen. Die maximale Amplitude beträgt in beiden Richtungen der Ordinate jeweils 160 mm. Bei den Doppelanalysatoren gibt es auch Modelle mit einem koppelbaren zweiten Wagen, der zusätzlich drei Zahnradpaare aufnehmen kann. Mit acht Planimetern lassen sich mit so gekoppelten Geräten folglich acht Koeffizienten gleichzeitig bestimmen. Nach dem Abfahren des Graphen muss der Fahrstift bei allen Mader-Ott-Geräten entlang der X-Achse wieder zum Anfang geführt werden. Anschließend können die Koeffizienten als Differenz zum Anfangswert an den Planimetern abgelesen werden.
Harvey-Amsler John Harvey entwickelte 1934 im Imperial College London einen harmonischen Analysator, der später bei Alfred J. Amsler & Co. in Schaffhausen produziert wurde.Harvey Harmonic Analyser in der Online Collection der Science Museum Group (abgerufen am 30. Dezember 2025)Amsler's Harvey Harmonic Analyser. (Firmenschrift mit Abbildung und Daten des Analysators) pdf Amsler war als Feinmechaniker sehr bekannt. Jakob Amsler-Laffon, der Vater von Alfred J. Amsler und Gründer der Firma, gilt als einer der beiden Erfinder des Polarplanimeters. Der Harvey-Amsler ist eine andere Form eines schon 1894 vom Statistiker George Udny Yule patentierten Instruments.Walther Meyer zur Capellen: Mathematische Instrumente. 2. ergänzte Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1944, S. 285. Wie der Mader-Ott ist der Harvey-Amsler ein Analysator zweiter Art.
Literatur Friedrich Adolf Willers: Mathematische Maschinen und Instrumente. Akademie-Verlag, Berlin 1951. Kapitel VI. Harmonische Analysatoren und Stieltjes-Planimeter. S. 194–235.
Weblinks
Youtube-Video der Funktion eines Henrici-Coradi-Analysators mit fünf Kugeln (10 Koeffizienten) Animation zur Simulation eines Mader-Ott-Analysators (je Durchgang ein Koeffizient) Abbildungen und Daten eines Harvey-Amsler-Analysators (Sammlung der École polytechnique fédérale de Lausanne)
Einzelnachweise