In der Mathematik ist die Li-Yau-Ungleichung eine Ungleichung aus der Riemannschen Geometrie, die einen Zusammenhang der Geometrie zu den Eigenwerten des Laplace-Operators herstellt.
Li-Yau-Ungleichung
Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung , und es sei ihr Durchmesser, dann gilt für den kleinsten Eigenwert des Laplace-Beltrami-Operators die Ungleichung .
Li und Yau bewiesen eine schwächere Ungleichung 1980P. Li, S.-T. Yau: Estimates of eigenvalues of a compact Riemannian manifold. Proc. Symp. Pure Math. None, 205--239 (1980) mittels einer durch Anwendung des Maximumprinzips bewiesenen Abschätzung für den Gradienten einer Eigenfunktion zum Eigenwert . Die obige Ungleichung wurde 1984 von Zhong und Yang bewiesen.J. Zhong, H. Yang: On the estimate of the first eigenvalue of a compact Riemannian manifold., Sci. Sin., Ser. A 27, 1265--1273 (1984)
Unter der stärkeren Voraussetzung hat man die Lichnerowicz-Abschätzung , die aus der Bochner-Formel folgt.
Li-Yau-Harnack-Ungleichung
Als Li-Yau-Harnack-Ungleichungen werden Gradientenabschätzungen für Lösungen der Wärmeleitungsgleichung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten bezeichnet, wie sie 1986 von Li und YauP. Li, S. T. Yau: On the parabolic kernel of the Schrödinger operator. Acta Math. 156, 154--201 (1986) bewiesen wurden.
Unter der Voraussetzung gilt für eine positive Lösung der Wärmeleitungsgleichung die Ungleichung
oder äquivalent .
Eine andere Version wurde 1988 von HamiltonR. S. Hamilton: The Ricci flow on surfaces. Contemp. Math. 71, 237--262 (1988) als wichtiges Hilfsmittel für die Konvergenz des Ricci-Flusses auf Flächen bewiesen. Anstelle einer Lösung der Wärmeleitungsgleichung verwendet sie die Skalarkrümmung : .
Literatur
B. Chow: Li-Yau inequalities in geometric analysis. J. Geom. Anal. 32, No. 11, Paper No. 271, 10 p. (2022).
Einzelnachweise
Kategorie:Riemannsche Geometrie Kategorie:Spektralgeometrie Kategorie:Ungleichung