In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine FC-Gruppe (engl. FC-group, kurz für finite conjugate group) eine Gruppe, in der jede Konjugationsklasse endlich ist. Äquivalent dazu ist, dass alle Zentralisatoren endlichen Index haben.
Definition Ist eine Gruppe, so ist das FC-Zentrum (engl. FC-center bzw. FC-centre, kurz für finite conjugate center bzw. finite conjugate centre) von die Menge
aller Gruppenelemente mit endlicher Konjugationsklasse. Nach der Bahnformel (angewandt auf Konjugation als Gruppenwirkung) ist das FC-Zentrum ebenfalls die Menge
aller Gruppenelemente mit Zentralisator von endlichem Index.
Eine Gruppe heißt FC-Gruppe, falls gilt.
Beispiele Jede endliche Gruppe und jede abelsche Gruppe ist eine FC-Gruppe. Jede Gruppe mit endlicher Kommutatorgruppe ist eine FC-Gruppe. Insbesondere ist jede Gruppe, deren Zentrum endlichen Index hat, eine FC-Gruppe. Untergruppen und Quotientengruppen von FC-Gruppen sind selbst FC-Gruppen. Die direkte Summe von FC-Gruppen ist selbst eine FC-Gruppe, nicht aber unbedingt das direkte Produkt von unendlich vielen FC-Gruppen. Für jede Gruppe ist ihr FC-Zentrum eine FC-Gruppe.
Eigenschaften Für eine Gruppe ist ihr FC-Zentrum eine Untergruppe. Es ist sogar eine charakteristische Untergruppe. Sei eine Gruppe und die Teilmenge der Torsionselemente des FC-Zentrums. Dann ist eine charakteristische Untergruppe des FC-Zentrums . Daher kann man den Quotienten bilden. Er ist eine torsionsfreie abelsche Gruppe. Sei eine Gruppe und eine endlich erzeugte Untergruppe des FC-Zentrums . Dann hat der Zentralisator endlichen Index in und das Zentrum hat endlichen Index in . Insbesondere ist die Kommutatorgruppe von endlich. Ist sogar , so ist ein endlicher Normalteiler von .
Anwendungen Sei eine Gruppe und ein Körper. Ein Primring ist ein Ring, für den das Nullideal ein Primideal ist. Ein Satz von Connell sagt aus, dass die Gruppenalgebra genau dann ein Primring ist, wenn keinen nicht-trivialen endlichen Normalteiler hat. Passman nutzte die Projektion von auf sowie die Verbindung zwischen und endlichen Normalteilern von , um einen kürzeren Beweis von Connells Satz zu finden.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Gruppe (Mathematik)