Der Satz von Hua () ist ein mathematischer Lehrsatz der Algebra, der auf eine wissenschaftliche Publikation des chinesischen Mathematikers Hua Luogeng aus dem Jahr 1949 zurückgeht. Er behandelt die Frage, wann ein die additive Struktur berücksichtigender Gruppenhomomorphismus zweier Divisionsringe auch die multiplikative Struktur respektiert.
Die dem Satz von Hua zugrunde liegende Fragestellung war im Zusammenhang mit Fragen der Projektiven Geometrie zuvor schon von Mathematikern wie Karl von Staudt, Germán AncocheaGermán Ancochea Quevedo ( zbmath ) (1908–1981) und Irving Kaplansky behandelt worden. Anschließend an Huas Arbeit kam es zu einer Reihe von weitergehenden Untersuchungen und hier auch zu Verallgemeinerungen des Satzes.
Formulierung Der Satz lässt sich in moderner Fassung folgendermaßen darstellen:
Gegeben seien zwei Divisionsringe und und dazu eine Abbildung . Dabei soll gelten:
(1)
(2)
(3)
Dann ist die Abbildung injektiv und dabei entweder ein Homomorphismus oder ein Antihomomorphismus von Ringen.
Huas Darstellung In seiner Arbeit des Jahres 1949 hat Hua seinen Satz in einer enger gefassten Darstellung angegeben:
Gegeben sei ein Divisionsring und dazu eine bijektive Abbildung . Dabei soll gelten:
(1)
(2*)
(3)
Dann ist die Abbildung bezüglich der Ringstruktur von entweder ein Automorphismus oder ein Antiautomorphismus.
Anmerkungen 1.) Die oben zuerst genannte moderne Fassung des Satzes umfasst den Satz aus Huas Darstellung insofern , als unter Berücksichtigung der Bijektivität von die Bedingung (2*) die Bedingung (2) nach sich zieht. Indem man nämlich für die Setzungen und macht, gewinnt man und dann mittels Kürzung .
2.) Dass notwendig injektiv sein muss, liegt an der oben genannte Bedingung (2) . Denn sie impliziert auch, dass der Kern von lediglich aus dem Nullelement allein bestehen kann. Insbesondere schließt dies ein, dass ein Körperhomomorphismus stets injektiv ist.
3.) In dem Lehrbuch von Paul Moritz Cohn wird der Beweis – anschließend an die Darstellung in Emil Artins bekanntem Lehrbuch Geometric Algebra von 1957 – auf eine Gleichung aufgebaut, die als Hua's identity, also als Gleichung von Hua, bezeichnet wird. Diese besagt, dass in dem Divisionsring für mit stets
gilt. Mit dieser Gleichung wird die Verbindung zwischen Bedingung (2) und Bedingung (2*) deutlich. Gemäß Huas Gleichung hat man demnach im Falle man für mit stets
.
Quellen und Literatur
Einzelnachweise
Hinweise
Hua Kategorie:Algebra