Die Ungleichung von Carlson-Beurling () ist eine Integralungleichung der Mathematik und als solche der Funktionalanalysis zugehörig. Sie geht auf zwei Publikationen der beiden schwedischen Mathematiker Fritz David Carlson (1888–1952) und Arne Karl August Beurling (1905–1986) aus den Jahren 1934 und 1939 zurück und gibt eine obere Abschätzung für die Fouriertransformierten gewisser differenzierbarer komplexwertiger Funktionen.
Mit der Carlson−Beurling−Ungleichung ist eine Reihe weiterer Untersuchungen verbunden.
Darstellung der Ungleichung Sie lässt sich angeben wie folgt:
Gegeben seien im Körper der reellen Zahlen ein abgeschlossenes Intervall und darauf eine stetig differenzierbare Funktion ,
wobei zudem
gelten soll.
Weiter sei die zugehörige Fouriertransformatierte. Hier wird also die Normierungskonstante weggelassen und als Normierungskonstante zugrunde gelegt.Streng genommen wird die Fouriertransformatierte für auf ganz definierte Lebesgue-integrierbare Funktionen gebildet. Man nimmt also für den hiesigen Fall die Fortsetzung der Funktion auf ganz mit als gegeben an.
Dann gilt Sowohl die Funktion selbst als auch ihre Ableitungsfunktion als auch die Quadrate der zugehörigen Betragsfunktion sind stetig und damit auch Lebesgue-integrierbar.
und dabei die Ungleichung: .Hier handelt es sich also um Lp-Normen für .
Als direkte Folgerung ergibt sich, dass jede Funktion der obigen Art darstellbar ist als Fouriertransformatierte einer im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktion .
Ungleichung von Carlson Ein Vorläuferresultat hatte im Jahre 1934 Fritz Carlson vorgelegt. Dieses lässt sich (zusammengefasst) folgendermaßen formulieren:
Gegeben seien das unendliche Intervall und darauf eine Lebesgue-integrierbare Funktion . Dann gilt die Ungleichung .
Ganz analog – und dabei etwas schärfer – gilt für jede Folge nicht-negativer reeller Zahlen die Ungleichung , sofern nicht alle sind und die beiden rechts stehenden Reihen konvergieren, also sind.
In beiden Fällen ist unter den gegebenen allgemeinen Voraussetzungen der auf der rechten Seite erscheinende Faktor der bestmögliche.
Quellen und Literatur
Einzelnachweise
Erläuterungen
Carlson-Beurling