In der Mathematik, insbesondere in der Zahlentheorie, ist die Newman-Vermutung eine Vermutung über das Verhalten der Partitionsfunktion modulo einer beliebigen ganzen Zahl. Genauer besagt sie, dass für beliebige ganze Zahlen m und r mit der Wert der Partitionsfunktion p(n) die Kongruenz für unendlich viele nichtnegative ganze Zahlen n erfüllt. Sie wurde 1960 von dem Mathematiker Morris Newman formuliert. Sie ist bis zum Jahr 2025 ungelöst.
Teilweise Fortschritte und aktuelle Forschung In den letzten Jahrzehnten gab es Teilresultate, die für bestimmte Moduli zeigen, dass Newmans Vermutung gilt. Beispielsweise bewies Newman selbst bereits in seinem ursprünglichen Artikel die Fälle m = 5 und m = 13. Später gelang es Forschern wie Ken Ono, Ahlgren und Boylan, das Verhalten der Partitionsfunktion modulo Primzahlen > 3 und bestimmten zusammengesetzten Zahlen zu untersuchen und Kriterien zu formulieren, unter denen die Vermutung erfüllt ist. So bewies Ono, dass für Primzahlen unter bestimmten Bedingungen alle Restklassen modulo unendlich oft getroffen werden und verifizierte den Fall für alle Primzahlen zwischen 3 und 1000. Ahlgren und Boylan erweiterten solche Ergebnisse auf zusammengesetzte Moduli, insbesondere auf Primpotenzen (mit Ausnahmen bei Potenzen von 2 oder 3). Jüngere Arbeiten von Dohoon Choi und Youngmin Lee analysieren die Dichte der zulässigen Moduli mit mindestens zwei verschiedenen Primfaktoren und zeigen, dass die Verteilung derjenigen Moduli, für welche die Vermutung gilt, in gewissen Mengen beinahe die gesamte Menge ausmacht. Obwohl all diese Ergebnisse Fortschritte sind, bleibt die vollständige Vermutung, dass für jedes Modul und jeden Rest unendlich viele (natürliche Zahlen) existieren mit , bis heute offen.
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Zahlentheorie Kategorie:Vermutung (Mathematik)