Die unendlichdimensionale Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie der induktive Limes aller Sphären. Obwohl keine einzige Sphäre zusammenziehbar ist, ist die unendlichdimensionale Sphäre zusammenziehbarHatcher 2002, S. 19, Exercise 16tom Dieck 2008, (8.4.5) Example und tritt daher etwa als Totalraum mehrerer universeller Hauptfaserbündel auf.
Definition Mit der üblichen Definition der Sphäre mit der 2-Norm schränkt sich die kanonische Inklusion zu einer kanonischen Inklusion ein. Dadurch bilden die Sphären ein induktives System, dessen induktiver Limes:Hatcher 2002, S. 7tom Dieck 2008, S. 222
die unendlichdimensionale Sphäre ist.
Eigenschaften Die wichtigste Eigenschaft der unendlichdimensionalen Sphäre ist, dass diese zusammenziehbar ist. Da die unendlichdimensionale Sphäre die Zellstruktur der Sphären erbt,tom Dieck 2008, S. 306 reicht es nach dem Satz von Whitehead aus, dass diese schwach zusammenziehbar ist. Anschaulich verschwinden bei den Sphären nacheinander die Homotopiegruppen von unten, also bei der unendlichdimensionalen Sphäre alle Homotopiegruppen. Konkret faktorisiert jede stetige Abbildung wegen der Kompaktheit der vorderen Sphäre über eine kanonische Inklusion , wobei ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden kann. Da trivial ist, ist also trivial.
Anwendung
ist das universelle -Hauptfaserbündel, also . Das -Hauptfaserbündel wird dann etwa klassifiziert durch die kanonische Inklusion , also . ist das universelle U(1)-Hauptfaserbündel, also . Das -Hauptfaserbündel wird dann etwa klassifiziert durch die kanonische Inklusion , also . ist das universelle SU(2)-Hauptfaserbündel, also . Das -Hauptfaserbündel wird dann etwa klassifiziert durch die kanonische Inklusion , also .
Weblinks
infinite-dimensional sphere auf nLab (englisch)
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Topologie