Eine 4-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit mit vier Dimensionen, also ein lokal euklidischer zweitabzählbarer Hausdorff-Raum, welcher also lokal zu offenen Teilmengen des vierdimensionalen euklidischen Raum diffeomorph ist ohne global dieser zu sein.
Bedeutung 4-Mannigfaltigkeiten sind von zentraler Wichtigkeit für die Mathematik, da vier Dimensionen zu viele für eine einfache Klassifikation sind als auch zu wenige für die Gültigkeit vieler Aussagen wie etwa den h-Kobordismus-Satz in höheren Dimensionen. 4-Mannigfaltigkeiten sind ebenfalls wichtig für die theoretische Physik, da etwa die Raumzeit durch eine solche beschrieben wird. Viele Theorien wie etwa die Donaldson- und Seiberg-Witten-Theorie beschäftigen sich mit dem Studium von 4-Mannigfaltigkeiten. Andere Theorien wie etwa die Allgemeine Relativitätstheorie, vierdimensionale Yang-Mills-Theorie und vierdimensionale Chern-Simons-Theorie basieren dagegen auf 4-Mannigfaltigkeiten.
Beispiele
Vierdimensionale Sphäre Vierter reeller projektiver Raum Zweiter komplexer projektiver Raum Zweite unitäre Gruppe E8-Mannigfaltigkeit
Resultate
Satz von Quinn Klassifikation von Freedman Satz von Donaldson
Klassifikation Da 2-zusammenhängende wegzusammenhängende orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeiten bereits 4-Sphären sind, besteht besonderes Interesse an der Klassifikation des nächstallgemeineren Falls, nämlich einfach zusammenhängenden wegzusammenhängenden orientierbaren geschlossenen 4-Mannigfaltigkeiten. Zu diesen gehören aus der obigen Liste die 4-Sphäre, der komplexe projektive Raum und die E8-Mannigfaltigkeit.
Orientierte Bordismenklassen orientierbarer geschlossener 4-Mannigfaltigkeiten werden durch die Signatur klassifiziert, welche einen Gruppenisomorphismus:
beschreibt. Zwei orientierbare geschlossene 4-Mannigfaltigkeiten sind also genau dann orientiert bordant zueinander, wenn ihre Signaturen übereinstimmen.
Literatur
Siehe auch
3-Mannigfaltigkeit 5-Mannigfaltigkeit
Weblinks
4-manifold auf nLab (englisch)
Kategorie:Differentialtopologie