Der Kompaktheitssatz von Uhlenbeck ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie und insbesondere der Yang-Mills-Theorie ein Resultat über bis auf Eichung schwach oder gleichmäßig konvergierende Teilfolgen von (schwachen) Yang-Mills-Zusammenhängen mit gleichmäßig beschränkter Krümmung. Es ist ein wichtiger Satz für die Kompaktifizierung des antiselbstdualen Yang-Mills-Modulraumes (ASDYM-Modulraum), welcher für die Konstruktion der Donaldson-Invarianten von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz 4-Mannigfaltigkeiten) oder der Monopol-Floer-Homologie von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz 3-Mannigfaltigkeiten) verwendet wird. Benannt ist der Satz nach Karen Uhlenbeck, die diesen im Jahr 1982 aufstellte. Im Jahr 2019 erhielt Karen Uhlenbeck unter anderem für ihre Beiträge zur Theorie partieller Differentialgleichungen und Eichtheorie als erste Frau den Abel-Preis. Der Kompaktheitssatz von Uhlenbeck wurde von Alex Waldron im Jahr 2018 auf Yang-Mills-Flüsse verallgemeinert.
Schwacher Kompaktheitssatz von Uhlenbeck Sei eine -dimensionale kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und ein -Hauptfaserbündel mit einer kompakten Lie-Gruppe . Sei mit und eine Folge von Sobolev-Zusammenhängen mit gemeinsamer Obergrenze für , die Norm ihrer Krümmungen. Dann existiert eine Folge von Eichtransformationen, sodass schwach konvergiert. In anderen Worten ist jede -beschränkte Teilmenge von schwach kompakt.Uhlenbeck 1982, Theorem 1.5 (3.6).Wehrheim 2004, Theorem A
Starker Kompaktheitssatz von Uhlenbeck Sei eine -dimensionale kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und ein -Hauptfaserbündel mit einer kompakten Lie-Gruppe . Sei mit und wenn . Sei eine Folge von schwachen Yang-Mills-Zusammenhängen, also sodass:
für alle und , mit gemeinsamer Obergrenze für . Dann existiert eine Teilfolge, ebenfalls mit notiert, und eine Folge von Eichtransformationen, sodass gleichmäßig gegen einen glatten Zusammenhang konvergiert.Wehrheim 2004, Theorem E (Der starke Kompaktheitssatz von Uhlenbeck wird nicht explizit in ihrem Paper aus dem Jahr 1982 genannt, folgt jedoch aus den Resultaten darin.)
Siehe auch
Singularitätssatz von Uhlenbeck, erstmals veröffentlicht im gleichen Journal direkt davor
Weblinks
Uhlenbeck's compactness theorem auf nLab (englisch)
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie