Die Dixmier-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Vermutung, dass jeder Endomorphismus einer Weyl-Algebra sogar ein Automorphismus ist. Benannt ist die Vermutung nach dem französischen Mathematiker Jacques Dixmier, der diese im Jahr 1968 aufstellte.
Die schwache Dixmier-Vermutung betrachtet nur die ordnungserhaltende Endomorphismen (bezüglich der Ordungsfiltration) und es stellt sich heraus, dass sie äquivalent zur Jacobi-Vermutung ist für alle Dimensionen . Die Dixmier-Vermutung impliziert die Jacobi-Vermutung und die Jacobi-Vermutung für Variablen impliziert die Dixmier-Vermutung für Dimensionen, das heißt
2026 wurde ein Gegenbeispiel für die Jacobi-Vermutung ab Dimension gefunden. Da die -te Dixmier-Vermutung die -te Jacobi-Vermutung impliziert, wurde somit auch die Dixmier-Vermutung für widerlegt. Für die Fälle ist die Vermutung aber nach wie vor offen.
Dixmier-Vermutung Sei ein Körper und für die Charakteristik gelte .
Einführung Die erste Weyl-Algebra ist eine Algebra über dem Körper , die durch zwei Elemente und mit der Relation erzeugt wird. Die Relation impliziert und macht die Weyl-Algebra zu einer nicht-kommutativen Algebra. Wenn die Charakteristik von Null ist, dann lässt sich auf dem Polynomring mit den beiden Operationen "Multiplikation mit " und "Ableitung nach " darstellen. Das heißt, ein ist von der Form mit Koeffizienten .
Analog lässt sich die -te Weyl-Algebra für und mit den Relationen
wobei die Ableitungen untereinander kommutieren sowie die Variablen untereinander, das bedeutet
Dixmier-Vermutung Die -te Dixmier-Vermutung für die -te Weyl-Algebra lautet Jeder Endomorphismus ist ein Automorphismus, das heißt es existiert mit , wobei die Identitätsabbildung ist.
Sie impliziert automatisch auch die Dixmier-Vermutung für alle , also die Dixmier-Vermutung für die Weyl-Algebren .
Dixmier stellte die Vermutung ursprünglich nur für den Fall auf.
Stabile Dixmier-Vermutung Die Dixmier-Vermutung für wird stabile Dixmier-Vermutung genannt und sie ist äquivalent zur Jacobi-Vermutung in unendlich vielen Variablen.Belov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim (2007), "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Moscow Mathematical Journal, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi:10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838 Dies wurde im Jahr 2005 durch Yoshifumi TsuchimotoTsuchimoto, Yoshifumi (2005), "Endomorphisms of Weyl algebra and p-curvatures", Osaka Journal of Mathematics, 42 (2): 435–452, und im Jahr 2007 durch Alexei Belov-Kanel und Maxim Kontsevich unabhängigBelov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim (2007), "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Moscow Mathematical Journal, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi:10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838 gezeigt.
Schwache Dixmier-Vermutung Für jedes sei die Menge aller Elemente der Ordnung höchstens . Dann definieren wir die Ordnungsfiltration der Weyl-Algebra durch . Ein Endomorphismus heißt ordnungserhaltend, wenn für alle gilt.
Bei der -ten schwachen Dixmier-Vermutung betrachtet man nur die Endomorphismen, die bezüglich der Ordnungsfiltration ordnungserhaltend sind.
Zusammenhang zur Jacobi-Vermutung Offensichtlich impliziert die Dixmier-Vermutung die schwache Dixmier-Vermutung, das heißt . Es stellt sich heraus, dass die schwache Dixmier-Vermutung äquivalent zur -ten Jacobi-Vermutung ist, das heißt für alle . Belov-Kanel und Kontsevich zeigten 2006 wiederum .
Zusammenfassend gilt folgender Zusammenhang sowie . 2026 wurde gezeigt, dass für alle falsch ist. Das impliziert, dass auch für alle falsch ist.
Schwache Dixmier-Vermutung impliziert Jacobi-Vermutung Um zu zeigen, startet man mit einer polynomiale Abbildung , deren Jacobi-Determinante eine von null verschiedene Konstante ist ("Keller-Abbildung"). Es gilt und man möchte zeigen, also dass sich jedes Polynom in den auch in den darstellen lässt. Dafür konstruiert man einen ordnungerhaltenden -Endomorphismus wie folgt
Dieser ist wegen der surjektiv und daraus folgt, dass für jedes Polynom ein mit gibt. Wendet man den Operator nun auf an, verschwinden alle Ableitungen und man erhält . Somit gilt und da folgt und damit die Invertierbarkeit von , was die impliziert.
Jacobi-Vermutung impliziert schwache Dixmier-Vermutung Um zu zeigen, startet man mit einem ordnungerhaltenden Endomorphismus bezüglich der Filtration . Wegen der Ordnungserhaltung gilt und . Daher gibt es Polynome so dass und . Aus den Relationen und die Matrix folgt , sodass und wegen der Annahme der Jacobi-Vermutung . Sei nun
und führe die Vektornotation , und ein.
Man kann nun zeigen, dass die Matrix ist, daraus folgt für alle mit Somit gilt . Zusammen mit folgt . Da und gilt, folgt daraus . Somit ist surjektiv und gilt.
Die sechs Dixmier-Probleme Dixmier veröffentlichte 1968 sechs grundlegende Fragestellungen zur Weyl-Algebra, wovon die erste die Dixmier-Vermutung für die erste Weyl-Algebra ist. Das dritte und sechste Problem wurden 1975 von Anthony Joseph gelöst und das fünfte Problem 2005 von Wladimir Bavula. Die restlichen drei Probleme (I, II und IV) sind weiterhin offen.
Einzelnachweise
Kategorie:Algebra