Higher Categories and Homotopical Algebra (deutsch Höhere Kategorien und Homotopische Algebra) ist ein mathematisches Textbuch über Höhere Kategorientheorie von Denis-Charles Cisinski. Es konzentriert sich auf die Theorien der Modellkategorien und simplizialen Mengen um einen Zugang zur modernen Homotopietheorie aus der Sicht von höheren Kategorien zu geben, wie in den Arbeiten von André Joyal und Jacob Lurie (siehe Higher Topos Theory) beschrieben.
Inhalt Higher Categories and Homotopical Algebra behandelt zuerst die allgemeine Theorie der Modellkategorien, wozu insbesondere die Hochhebungseigenschaft, ko- und kontravariante sowie injektive und projektive Modellstruktur gehören,Cisinski 2019; 2.1 Factorisation systems, Theorem 4.4.14, Theorem 4.1.5 and 2.3.10. und die allgemeine Theorie der Prägarben an Mengen, wozu insbesondere simpliziale Mengen gehören.Cisinski 2019, 1.1 Presheaves Es konzentriert sich weiter auf die Modellierung von ∞-Kategorien durch Quasikategorien und ∞-Gruppoiden durch Kan-Komplexe,Cisinski 2019, Definition 1.5.1. welche beide simpliziale Mengen sind, welche spezielle Hochhebungseigenschaften erfüllen. Basierend auf diesen werden die Joyal- und Kan-Quillen-Modellstruktur beschrieben, welche diese jeweils zu fasernden Objekten macht.Cisinski 2019, Theorem 3.6.1. and Theorem 3.1.8.
Weiterführend werden wichtige Funktoren sowie Konstruktionen für die Kategorie der simplizialen Mengen beschrieben: Zu den Funktoren gehören die Adjunktion zwischen den Zusammenhangskomponenten und der konstanten simplizialen Menge zur Verbindung mit der Kategorie der Mengen,Cisinski 2019, 3.1.30. die Adjunktion zwischen der geometrischen Realisierung und dem singulären Funktor zur Verbindung mit der Kategorie der topologischen Räume,Cisinski 2019, Example 1.2.7. and Remark 7.8.11. die Adjunktion zwischen der Fundamentalkategorie und dem Nerv zur Verbindung mit der Kategorie der kleinen KategorienCisinski 2019, 1.4.1. sowie die Adjunktion zwischen dem Subdivisionsfunktor und dem Extensionsfunktor zur Verbindung mit der Kategorie der simplizialen Mengen selbst.Cisinski 2019, 3.1.17. Zu den Konstruktionen gehören der Verbund für simpliziale Mengen, die Diamantoperation und die getwistete Diagonale für simpliziale Mengen.Cisinski 2019; 3.4.12., 4.2.1. and 5.6.1. (Nicht beschrieben werden der zugehörige Verbund für Kategorien und die getwistete Diagonale für Kategorien.)
Literatur
Weblinks
Higher categories and homotopical algebra at the nLab (englisch) Verlagswebseite mit Kritiken von André Joyal, Carlos Simpson, Michael Hopkins und Julie Bergner Archivierte Originalkritik von Julie Bergner Kritik von Hirokazu Nishimura
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie