mini|380px|Graphen der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen haben eine kleinste positive Periode von und nehmen jeweils alle Werte von −1 bis 1 an.
Sinus- und Kosinusfunktion (andere Schreibweise: Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans sind sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig.
Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.
Herkunft des Namens Die lateinische Bezeichnung Sinus „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175J. Ruska: Zur Geschichte des „Sinus“. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Teubner, Leipzig 1895. S. 126 ff. Auch online zugänglich: Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen. als Übersetzung der arabischen Bezeichnung dschaib oder , selbst entlehnt von Sanskrit jiva „Bogensehne“ indischer Mathematiker.
Die Bezeichnung „Kosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden.Josef Laub (Hrsg.): Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 207.
Geometrische Definition Definition am rechtwinkligen Dreieck
Wenn zwei ebene Dreiecke die gleichen Innenwinkel haben, dann sind auch die Längenverhältnisse der Seiten gleich. Auch das Umgekehrte gilt: Wenn die Längenverhältnisse gleich sind, sind die Innenwinkel gleich. Man sagt, diese Dreiecke sind zueinander ähnlich.
mini|hochkant=2|Dreieck mit einem rechten Winkel am Eckpunkt C. Die Benennungen „Ankathete“ und „Gegenkathete“ beziehen sich auf den Winkel
Bei rechtwinkligen Dreiecken kommt hinzu, dass die beiden spitzen Winkel zusammen 90° ergeben. Wenn man also den einen spitzen Winkel kennt, ist dadurch der andere spitze Winkel festgelegt und der dritte Winkel als rechter Winkel ohnehin. Somit hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.
Diese Längenverhältnisse bekommen spezielle Namen:
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).
Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.
Mit den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) heißt das in Formelschreibweise:
Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen und .
Wird statt von von dem gegenüberliegenden Winkel ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von wird zur Gegenkathete von , die Gegenkathete von bildet nun die Ankathete von , und es gilt:
Da im rechtwinkligen Dreieck gilt, folgt:
und
Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels.
Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“) ableiten:
Definition am Einheitskreis mini|Definition des Sinus und Kosinus am Einheitskreis mini|Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis im ersten Quadranten Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt mit den Koordinaten auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt . Die positive -Achse schließt mit dem Ortsvektor von einen Winkel ein. Der Koordinatenursprung , der Punkt auf der -Achse und der Punkt bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt . Die Ankathete des Winkels ist die Strecke zwischen und und hat die Länge . Es gilt:
Die Gegenkathete des Winkels ist die Strecke zwischen und und hat die Länge . Somit gilt:
Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:
Die -Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Kosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der -Achse, während die -Koordinate der Sinus dieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.
Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl zwischen −1 und 1 () gibt es schon zwischen 0° und 360° () immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:
Punktsymmetrien:
Achsensymmetrien:
Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.
Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch
sowie , wobei eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu (cos) bzw. (sin) und zu (sin) bzw. (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.
Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der -Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im Bogenmaß gemessen. Ein Winkel von entspricht einem Bogenmaß von . zentriert|Animation zur Konstruktion der Sinus- und Kosinusfunktion
Analytische Definition mini|Graph der Sinusfunktion mini|Graph der Kosinusfunktion
Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden; dieser formalere Zugang spielt auch in der Analysis eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.
Motivation durch Taylorreihen mini| zusammen mit den ersten Taylorpolynomen mini|Diese Animation illustriert die Definition der Sinusfunktion durch eine Reihe. Je größer die Zahl ist, desto mehr Summanden werden in der Reihendefinition verwendet. So ist bei neben der Sinusfunktion zusätzlich das kubische Polynom eingezeichnet. Sinus und Kosinus sind als Funktionen von nach erklärt. Sie sind beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:
Die sich daraus ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen und dar, das heißt:
Reihenentwicklung in der Analysis In der Analysis geht man umgekehrt von den Reihenentwicklungen aus und leitet daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die Kosinus-Reihe und die Beziehung als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von gegeben.
Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und der -Wert bis auf den Bereich bis reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, .
Beziehung zur Exponentialfunktion mini|Der Realteil von ist und der Imaginärteil ist Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:
Dabei wurde verwendet:
mini|Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel:
Für eine reelle Zahl ist also der Realteil und der Imaginärteil der komplexen Zahl .
Durch Ersetzung von durch ergibt sich:
Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:
Diese Gleichungen gelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.
Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.
Definition über das Integral Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals zur Berechnung der Bogenlänge
also und (siehe unten).
Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für und ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion , die das Intervall auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn und sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von , das heißt die Projektionen dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.
Neben gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa
Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich zu
Wie leicht zu zeigen ist, ist ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von gleich ist; wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von definiert.
Die Funktion
ist auch differenzierbar:
Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion
gilt:
Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion lassen sich nun Sinus und Kosinus als - und -Komponente von analytisch definieren:
Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.
Definition als Lösung einer Funktionalgleichung Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen , das für alle die Gleichungen