Bott-Chern-Kohomologie ist im mathematischen Teilgebiet der komplexen Geometrie eine Kohomologietheorie für komplexe Mannigfaltigkeiten. Diese dient als Brücke zwischen der de-Rham-Kohomologie, welche für reelle Mannigfaltigkeiten definiert ist, welche komplexe Mannigfaltigkeiten insbesondere sind, sowie der Dolbeault-Kohomologie, welche dessen Analogon für komplexe Mannigfaltigkeiten ist. Ein direkter Vergleich der beiden Kohomologietheorien durch verbindende Abbildungen ist nicht möglich, jedoch bildet Bott-Chern-Kohomologie kanonisch in beide ab. Eine ähnliche Kohomologietheorie, in welche beide abbilden und welche daher auch als Brücke dient, ist die Aeppli-Kohomologie. Bott-Chern-Kohomologie ist benannt nach Raoul Bott und Shiing-Shen Chern, welche diese im Jahr 1965 eingeführt haben.
Definition Für eine komplexe Mannigfaltigkeit ist dessen Bott-Chern-Kohomologie gegeben durch:Bott & Chern 1965, S. 74Angella & Tomassini 2014, S. 1 & 1.1. Bott-Chern cohomologyAngella 2015, S. 5
Dabei notiert die äußere Ableitung und sowie notieren die Dobeault-Operatoren.
Abbildungen de-Rham- und Dobeault-Kohomologie sind gegeben durch:Angella 2015, S. 3–4
Mit der kanonischen Inklusion gibt es eine kanonische Inklusion der Bott-Chern- in die de Rham-Kohomologie:
Mit den kanonischen Inklusionen sowie und gibt es kanonische Inklusionen der Bott-Chern- in die Dobeault-Kohomologie:
Darüber hinaus gibt es kanonische Abbildungen in die Aeppli-Kohomologie, wobei alle drei möglichen Kompositionen identisch sind.
Literatur
Weblinks
Bott-Chern cohomology auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Komplexe Geometrie