Die duale simpliziale Menge (englisch opposite simplicial set, notiert mit op) ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine Konstruktion für simpliziale Mengen, welche unter dem Nerv genau der dualen Kategorie entspricht. Dadurch verallgemeinert dieses das Konzept der Inversion von Morphismen von 1-Kategorien auf ∞-Kategorien. Die duale Kategorie definiert eine Involution auf der Kategorie der simplizialen Mengen.
Definition Auf der Simplexkategorie gibt es einen Automorphismus , welcher für einen Morphismus gegeben ist durch . Dieser erfüllt und ist zudem der einzige nichttriviale Automoprhimus auf der Simplexkategorie . Durch Vorkomposition ergibt sich ein Funktor auf der Kategorie der simplizialen Mengen . Für eine simpliziale Menge ist dann die simpliziale Menge ihre duale simpliziale Menge.Lurie 2009, 1.2.1 The Opposite of an ∞-CategoryCisinski 2019, 1.5.7.
Eigenschaften
Für eine simpliziale Menge gilt:
Für simpliziale Mengen und bilden die Morphismen zwischen ihnen wieder eine simpliziale Menge mit:
Für eine Kategorie gilt:Cisinski 2019, Proposition 1.5.8.
Eine simpliziale Menge ist genau dann eine ∞-Kategorie, wenn die duale simpliziale Menge eine ∞-Kategorie ist. Eine simpliziale Menge ist genau dann ein Kan-Komplex, wenn die duale simpliziale Menge ein Kan-Komplex ist.
Weblinks
opposite category auf nLab (englisch)
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie