Eine bisimpliziale Menge ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie ein simpliziales Objekt in der Kategorie der simplizialen Mengen, welche wiederum selbst simpliziale Objekte in der Kategorie der Mengen sind. Viele Konzepte der homotopischen Algebra, welche simpliziale Mengen studiert, können auf bisimpliziale Mengen übertragen werden, darunter etwa Kan-Faserungen und Kan-Komplexe.
Definition Eine bisimpliziale Menge ist ein simpliziales Objekt in der Kategorie der simplizialen Mengen , also Funktoren . Die Kategorie der simplizialen Mengen wird als:
bezeichnet. Seien die kanonischen Projektionen, dann gibt es durch Vorkomposition induzierte Funktoren . Für simpliziale Mengen und gibt es eine bisimpliziale Menge mit:Cisinski 2019, 5.5.1.
Sei der Diagonalfunktor, dann gibt es durch Vorkomposition einen induzierten Funktor . Für eine bisimpliziale Menge gibt es eine simpliziale Menge mit:
Adjungierte Funktoren Die Diagonale hat einen linksadjungierten Funktor mit und einen rechtsadjungierten Funktor mit .Cisinski 2019, 5.5.1.
Sei eine simpliziale Menge. Der Funktor hat einen rechtsadjungierten Funktor:Cisinski 2019, 5.5.2.
Der Funktor hat einen rechtsadjungierten Funktor:
Modellstrukturen Modellstrukturen auf der Kategorie der simplizialen Mengen, darunter vor allem die Joyal- und Kan-Quillen-Modellstruktur, können über die injektive und projektive Modellstruktur auf die Kategorie der bisimplizialen Mengen übertragen werden. Jedoch hat es sich als sinnvoller erwiesen, stattdessen die kanonischen Entsprechungen der Morphismen und , nämlich:
zu nehmen, welche von Kan-Faserungen auf Bifaserungen, Kan-Komplexen auf Kan-Bikomplexe, Links/Rechtsfaserungen auf Links/Rechtsbifaserungen und links/rechtsanodynen Erweiterungen auf links/rechtsbianodyne Erweiterungen führt.
Eigenschaften
Der Diagonalfunktor bildet links/rechtsbianodyne Erweiterungen auf links/rechtsanodyne Erweiterungen ab.Cisinski 2019, Lemma 5.5.17. Der linksadjungierte Funktor bildet links/rechtsanodyne Erweiterungen auf links/rechtsbianodyne Erweiterungen ab.Cisinski 2019, Corollary 5.5.25. Für simpliziale Mengen und gilt:
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie