Eine eigentliche Modellstruktur ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine Modellstruktur, welche zusätzlich deren schwache Äquivalenzen bei Faserprodukten entlang von Faserungen, genannt linkseigentlich, oder Kofaserprodukten entlang von Kofaserungen, genannt rechtseigentlich, erhält. Hilfreich ist diese Eigenschaft vor allem bei der Konstruktion von schwachen Äquivalenzen und dadurch der Suche nach isomorphen Objekten in der Homotopiekategorie der Modellkategorie.
Definition Für jede Modellkategorie gilt:Hirschhorn 2002, Proposition 13.1.2
Kofaserprodukte von schwachen Äquivalenzen zwischen kofasernden Objekten entlang von Kofaserungen sind wieder schwache Äquivalenzen. Faserprodukte von schwachen Äquivalenzen zwischen fasernden Objekten entlang von Faserungen sind wieder schwache Äquivalenzen.
Eine Modellkategorie wird:Rezk 2000, 2.1. Definition of properness
linkseigentlich genannt, wenn Kofaserprodukte von schwachen Äquivalenzen entlang von Kofaserungen wieder schwache Äquivalenzen sind. rechtseigentlich genannt, wenn Faserprodukte von schwachen Äquivalenzen entlang von Faserungen wieder schwache Äquivalenzen sind. eigentlich genannt, wenn sie linkseigentlich und rechtseigentlich ist.
Eigenschaften
Eine Modellkategorie, in der alle Objekte kofasernd sind, ist linkseigentlich.Rezk 2000, Remark 2.8. Eine Modellkategorie, in der alle Objekte fasernd sind, ist rechtseigentlich.
Für eine Modellkategorie und einen Morphismus in dieser gibt es durch Vorkomposition einen Funktor und durch Nachkomposition einen Funktor . Zudem definiert das Kofaserprodukt einen Funktor und das Faserprodukt einen Funktor . Es gilt:Rezk 2000, Proposition 2.7.
ist linkseigentlich genau dann wenn für jede schwache Äquivalenz die Adjunktion eine Quillen-Adjunktion ist. ist rechtseigentlich genau dann wenn für jede schwache Äquivalenz die Adjunktion eine Quillen-Adjunktion ist.
Beispiele
Die Joyal-Modellstruktur ist linkseigentlich,Lurie 2009, Higher Topos Theory, Proposition A.2.3.2. aber nicht rechtseigentlich.Lurie 2009, Higher Topos Theory, Remark 1.3.4.3. Linkseigentlichkeit folgt daraus, dass alle Objekte kofasernd sind. Die Kan-Quillen-Modellstruktur ist eigentlich.Joyal 2008, Theorem 6.1. auf S. 293Cisinki 2019, Corollary 3.1.28. Linkseigentlichkeit folgt daraus, dass alle Objekte kofasernd sind.
Literatur
Weblinks proper model category auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie