Eine Cisinski-Modellstruktur ist im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie eine spezielle Art von Modellstruktur auf Topoi. In der homotopischen Algebra ist dabei insbesondere die Kategorie der simplizialen Mengen von Interesse. Cisinski-Modellstrukturen sind benannt nach Denis-Charles Cisinski, der diese im Jahr 2001 eingeführt hat. Dabei baut seine Arbeit auf noch unvollständigen Ideen von Alexander Grothendieck und seinem Skript Pursuing Stacks aus dem Jahr 1983 auf.
Definition Eine kofasernd erzeugte Modellstruktur auf einem Topos, deren Kofaserungen genau die Monomorphismen sind, wird Cisinski-Modellstruktur genannt. Kofasernd erzeugt bedeutet dabei, dass zwei kleine Mengen und an Morphismen existieren, mit welchen alle Kofaserungen und trivialen Kofaserungen über die Hochhebungseigenschaft erzeugt werden:Cisinski 2019, 2.4.1.
Generell wird eine die Klasse aller Monomorphismen auf einer Kategorie an Prägarben erzeugende kleine Menge als zelluläres Modell bezeichnet:Cisinski 2001, Définition 1.28.Cisinski 2019, Definition 2.4.4.
Für jeden Topos existiert ein zelluläres Modell.Cisinski 2001, Proposition 1.29.
Beispiele
Joyal-Modellstruktur: Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen und triviale Kofaserungen (also innere anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von inneren Horninklusionen (mit und ).Cisinski 2019, Example 2.4.5.Cisinski 2019, Definition 3.2.1. Kan-Quillen-Modellstruktur: Kofaserungen werden erzeugt von Randinklusionen und triviale Kofaserungen (hier anodyne Erweiterungen) werden erzeugt von Horninklusionen (mit und ).
Literatur
Weblinks
Cisinksi model structure auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie