Gopakumar-Vafa-Dualität ist eine Dualität in der Stringtheorie, also eine Korrespondenz zweier verschiedener Theorien, in diesem Fall zwischen Chern-Simons-Theorie und Gromov-Witten-Theorie. Letztere ist bekannt als die mathematische Entsprechung der Stringtheorie und zählt pseudoholomorphe Kurven auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit, ähnlich wie Gopakumar-Vafa-Invarianten und Pandharipande-Thomas-Invarianten. Gopakumar-Vafa-Dualität ist benannt nach Rajesh Gopakumar und Cumrun Vafa, welche diese im Jahr 1998 erstmals beschrieben haben.
Formulierung Gopakumar-Vafa-Dualität beschreibt eine Korrespondenz zwischen Chern-Simons-Theorie auf dem Kotangentialbündel über der dreidimensionalen Sphäre und Gromov-Witten-Theorie auf der Whitney-Summe des tautologischen Vektorbündels über der zweidimensionalen Sphäre .Auckly & Koshkin 2007, S. 207 Es gibt eine kanonsiche Inklusion und dadurch eine induzierte Inklusion . Durch einen geeigneten Endomorphismus dazwischen reduziert sich dieser zu einem Diffeomorphismus in die spezielle lineare Gruppe und durch Komposition mit dem Nullschnitt weiter zu einem Diffeomorphismus in die spezielle unitäre Gruppe.Auckly & Koshkin 2007, S. 210 Zudem gilt:
wobei die für die erste Chern-Klasse des komplexen Linienbündels steht. Durch Verringerung bis zur komplett verschwindenden DeterminanteGopakumar & Vafa 1998-03, Gl. (3.4)Gopakumar & Vafa 1998-11, S. 17 kann bis auf eine Konifaltigkeit reduziert werden, welche sich als Auflösung von ergibt. Aus der Perspektive der Chirurgietheorie entspricht das der Chirurgie .Auckly & Koshkin 2007, Def. 2.2 auf S. 211
Eine offensichtliche Verallgemeinerung der Sphäre ist eine zusätzliche Wirkung der zyklischen Gruppe auf ihr, was auf Linsenräume führt. Gopakumar-Vafa-Dualität kann jedoch nur auf den Linsenraum übertragen werden.Brini, Griguolo, Seminara & Tanzini 2008, Claim 1
Literatur
Weblinks
Gopakumar-Vafa duality auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Stringtheorie