Die Ooguri-Vafa-Metrik ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine vierdimensionale Hyperkählermetrik. Benannt ist die Ooguri-Vafa-Metrik nach Hirosi Ooguri und Cumrun Vafa, welche diese im Jahr 1996 erstmals mithilfe des Gibbons-Hawking-Ansatzes beschrieben haben. Eine andere Konstruktion wurde von Davide Gaiotto, Gregory W. Moore und Andrew Neitzke im Jahr 2008 angegeben.
Definition Die Ooguri-Vafa-Metrik ist definiert auf den vierdimensionalen Totalräumen von U(1)-Hauptfaserbündeln über offenen Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raumes .Lorenzo, S. 1 Insbesondere für den ganzen Raum ergibt sich .Gaiotto, Moore & Neitzke 2008, S. 7
Definiere die elliptische Faser mit und und sei die String-Kopplungskonstante. Weiter definiere die skalierte Ortskoordinate .
Die Metrik hat bei Ooguri und Vafa die Form
wobei und
und ein Potential ist, welches ausgehend von der Form modifiziert wird. kann man sich als elektromagnetisches Skalarpotential für eine Sammlung von Ladungen in 3-Dimensionen vorstellen.
Anforderungen an das Potential An das Potential gibt es 5 Anforderungen: soll eine Funktion von nur und sein, also für . Damit die Metrik eine Hyperkählermetrik ist, müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein
wobei der Differentialoperator wie folgt definiert ist
Wenn dann erhält man das klassische oben definierte Potential
Die Metrik soll periodisch, aber nicht translationsinvariant, in der -Richtung mit Periode sein, das heißt . Die Singularitäten von können durch eine geeignete Koordinatentransformation entfernt werden können.
Es existiert eine eindeutige Lösung, welche all diese Bedingungen erfüllt
für eine Konstante . Durch die Poissonsche Summenformel ergibt sich
wobei eine Konstante ist und die modifizierte Besselfunktion.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie